输出所有的最长公共子序列

问题描述：给定两个序列，例如 X = “ABCBDAB”、Y = “BDCABA”，求它们的最长公共子序列的长度。

下面是求解时的动态规划表，可以看出 X 和 Y 的最长公共子序列的长度为4：

输出一个最长公共子序列并不难（网上很多相关代码），难点在于输出所有的最长公共子序列，因为 LCS 通常不唯一。总之，我们需要在动态规划表上进行回溯 —— 从table[m][n]，即右下角的格子，开始进行判断：

如果格子table[i][j]对应的X[i-1] == Y[j-1]，则把这个字符放入 LCS 中，并跳入table[i-1][j-1]中继续进行判断；

如果格子table[i][j]对应的 X[i-1] ≠ Y[j-1]，则比较table[i-1][j]和table[i][j-1]的值，跳入值较大的格子继续进行判断；

直到 i 或 j 小于等于零为止，倒序输出 LCS 。

如果出现table[i-1][j]等于table[i][j-1]的情况，说明最长公共子序列有多个，故两边都要进行回溯（这里用到递归）。

从上图的红色路径显示，X 和 Y 的最长公共子序列有 3 个，分别为 “BDAB”、“BCAB”、“BCBA”。

C++代码如下：

// 动态规划求解并输出所有LCSinclude <iostream>include <string>include <vector>include <set>using namespace std;string X = "ABCBDAB";string Y = "BDCABA";vector <vector<int>> table; // 动态规划表set<string> setOfLCS;      // set保存所有的LCSint max(int a, int b){    return (a>b)? a:b;}/**  * 字符串逆序 */string Reverse(string str){    int low = 0;    int high = str.length() - 1;    while (low < high)    {        char temp = str[low];        str[low] = str[high];        str[high] = temp;        ++low;        --high;    }    return str;}/**  * 构造表，并返回X和Y的LCS的长度 */int lcs(int m, int n){    // 表的大小为(m+1)*(n+1)    table = vector<vector<int>>(m+1,vector<int>(n+1));    for(int i=0; i<m+1; ++i)    {        for(int j=0; j<n+1; ++j)        {            // 第一行和第一列置0            if (i == 0 || j == 0)                table[i][j] = 0;            else if(X[i-1] == Y[j-1])                table[i][j] = table[i-1][j-1] + 1;            else                table[i][j] = max(table[i-1][j], table[i][j-1]);        }    }    return table[m][n];}/**  * 求出所有的最长公共子序列，并放入set中  */void traceBack(int i, int j, string lcs_str){    while (i>0 && j>0)    {        if (X[i-1] == Y[j-1])        {            lcs_str.push_back(X[i-1]);            --i;            --j;        }        else        {            if (table[i-1][j] > table[i][j-1])                --i;            else if (table[i-1][j] < table[i][j-1])                --j;            else   // 相等的情况            {                traceBack(i-1, j, lcs_str);                traceBack(i, j-1, lcs_str);                return;            }        }    }    setOfLCS.insert(Reverse(lcs_str));}int main(){    int m = X.length();    int n = Y.length();    int length = lcs(m, n);    cout << "The length of LCS is " << length << endl;    string str;    traceBack(m, n, str);    set<string>::iterator beg = setOfLCS.begin();    for( ; beg!=setOfLCS.end(); ++beg)        cout << *beg << endl;    getchar();    return 0;}