LE（拉普拉斯特征谱）

*LE算法

**基本思想

LE是Belkin和Niyogi在2002年提出的基于谱图理论的Laplacian特征映射算法。Belkin等人发现流形Laplician-Beltrami算子的特征函数可以实现流形的低维嵌入。其中，Lapliacian-Beltrami算子的定义为流形切空间上梯度向量的负散度函数。LE算法的主要思想是通过拉普拉斯Belrami算子来实现高维向量在低维空间的嵌入，使得高维空间中离得很近的点映射到低维空间后也应该离得很近。

**算法步骤

1）构造近邻图

定义一个包含所有样本点的图,可以使用超球标准或者k近邻标准来判断近邻。

2）近邻点边赋权

设置近邻点之间的权值，两种方式，可以使用热核函数或者简单方式。

3）特征映射

对上述建立的图，进行广义的特征分解。LY=rDY，其中D是一个对角矩阵。其对角线上的值为W每一列上权值的加和。L是G的拉普拉斯矩阵。L=D-W。特征映射的结果Y由广义特征方程中前d个最小特征对应的特征向量张成。

***算法分析

LE算法中构造近邻图和求得低维嵌入计算复杂度为O(Dn^2)和O(dn^3)，设置重构权值矩阵复杂度不超过O(kDn)所以相对于LLE,LE算法需要的计算量较少，执行快。

主要缺点:

没有办法像对流形上距离较远的点不加约束，所以使得LE算法和LLE算法一样没有办法恢复同样的流形等距的低维坐标。

LE热核函数的超参数调节需要注意，不同的参数会产生完全不同的效果，调节目前需要经验的指导。

LE算法对噪声的鲁棒性较差，当采样数据存在噪声或者起一点的时候，LE算法对噪声显得比较敏感，没有办法从噪声数据中学习出其内部的几何结构。