【题解】P1373 奶牛的卧室

P1373 奶牛的卧室
2017年6月12日

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奶牛们有一个习惯，那就是根据自己的编号选择床号。如果一头奶牛编号是a，并且有0..k-1一共k张床，那么她就会选择（a mod k）号床作为她睡觉的地点。显然，2头牛不能睡在一张床上。那么给出一些奶牛的编号，请你为她们准备一间卧室，使得里面的床的个数最少。

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【分析】

本题要求的，就是找一个最小的数m，使得任意两个数x，y，满足：
(x mod m) != (y mod m).
根据结论：
当（(x - y) mod m） != 0，则有：(x mod m) != (y mod m).

证明：
设：a % m = b % m = k,
则：a = p1 * m + k; b = p2 * m + k.
(a - b) = (p1 - p2) * m,(a - b) mod m = 0.
用反证，可以证明结论正确。

所以本题是找一个最小的数，这个数应满足不是任何两个数的差的约数。

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【过程】
本题的思路是将任意两个数的差的绝对值记录下来，并求出他们的所有约数，那么最小的一个不是约数的数就是本题所求的数。
但是因为数据量太大，O=n*max（5000*1000000），所以将所有差的约数记录下来不现实，所以可以采取边记录边寻找的方法。将所有的差记录下来，从N开始到最大的num[N],按顺序寻找，如果这个数是任意差的约数，break并检查下一个数。

根据抽屉原理，所求的数字最小是N，最大是num[N].

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【代码 C++】

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string>#include<algorithm>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<cstring>using namespace std;#define maxx 10000010int N;int num[5100], ans = 0;bool Recalls[maxx];//记录任意两个数的差int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    cin >> N;    memset(Recalls, true, sizeof(Recalls));    for(int i = 1; i <= N; i++)     cin >> num[++ans];//输入    sort(num + 1, num + 1 + N);    for(int i = 1; i <= N; i++)        for(int k = 1; k <= N; k++)            Recalls[abs(num[i] - num[k])] = false;//记录    for(int i = N; i <= num[N]; i++)//寻找    {        if(Recalls[i] == true){            for(int k = 2 * i; k <= num[N]; k += i)                if(Recalls[k] == false){                    Recalls[i] = false;                    break;                }            if(Recalls[i] == true){                cout << i <<endl;                return 0;            }        }    }    return 0;}