后缀数组

后缀数组 sa[i] 是将一个字符串 s 的所有后缀根据字典序排序后，排名为 i 的后缀的第一个字母在 s 中的位置。
求后缀数组有 O(nlogn) 的倍增求法。根据字典序的性质，求字符串的字典序排名只要找到一个长度 k ，使所有字符串变成长度为 k 的字符串，大于 k 的截取，小于 k 的补0 。因此倍增 k 直到所有字符串都不相等即可找到他们的字典序。倍增后的排序可以基数排序，复杂度为 O(n) 。

后缀数组的一个应用就是求两个串的最长公共前缀。
我们定义 rank[i] 为以 s[i] 为第一个字母的后缀字典序排序后的位置序号。显然rank 和 sa 互为逆函数。于是可以通过 rank[sa[i]]=i 来求出 rank 。
然后定义 height[i] 为 sa 中相邻两个后缀（即字典序相邻的两个后缀）的最长公共前缀。有一个性质： height[rank[i]]>=height[rank[i]−1]−1 ，于是可以通过 i 递增来算出来了。
因此最长公共前缀 LCA(i,j)=min(height[i,j]) 。

后缀数组还是理解不深啊。。。得多刷点题。

比较好的讲解
模板测试题

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1e5+7;int sa[N],c[N],t1[N],t2[N],rk[N],h[N],dp[N][20],mm[N],r[N];char s[N];int n,m;bool cmp(int *r, int a, int b, int l){    return r[a] == r[b] && r[a+l] == r[b+l] ;}//最后得到的 rk 在[0,n-1] 有效//h和sa均在[1,n]内有效void get_sa(int *s,int *sa,int *h,int *rk,int n,int m){    s[n]=0; ++n;        //++n的原因是因为最后引入了一个0，因此预处理后显然sa[oldn]=0。    int p, *x = t1, *y = t2;    //基数排序：计算每个值的cnt，然后计算cnt的前缀和，标志每种值的在sa数组中的区间，    //然后将下标（后缀第一个字母的位置）放置到sa数组中。    for(int i=0;i<m;++i) c[i]=0;    for(int i=0;i<n;++i) ++c[x[i]=s[i]];    for(int i=1;i<m;++i) c[i]+=c[i-1];    for(int i=n-1;i>=0;--i) sa[--c[x[i]]]=i;    //k是倍增的大小，新的数组中，(x[i]，x[i+k])是一个pair。    //k<=n 因为极限情况是0+n==n。    for(int k=1;k<=n;k<<=1)    {        //sa倍增        //y是pair中第二个关键字排好序后对应的第一个关键字的下标。        //当sa[i]>=k时，才有第一个关键字。        p=0;        for(int i=n-k;i<n;++i) y[p++]=i;        for(int i=0;i<n;++i) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;        //基数排序，不过这里计算sa的时候根据y从后往前，因为考虑到第一关键字相同时，第二个关键字也是要升序的。        //x相当于s吧，不过每次被增后x会发生变化。        for(int i=0;i<m;++i) c[i]=0;        for(int i=0;i<n;++i) ++c[x[i]]; //这里和邝斌的不一样        for(int i=1;i<m;++i) c[i]+=c[i-1];        for(int i=n-1;i>=0;--i) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];        swap(x,y);        p=1;x[sa[0]]=0;   //sa[0]=n-1，相当于x[n-1]=0。        //给x赋新值，根据sa[i]升序，这样保证p最小。且相同的pair值一样。        for(int i=1;i<n;++i)            x[sa[i]] = cmp(y,sa[i-1],sa[i],k) ? p-1:p++;        if(p>=n) break;         //不同的值已经达到n就退出。        m=p;        //x中的最大值+1。    }    int k=0,j;    --n;    for(int i=0;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;  //rk[n]=0    //for(int i=0;i<n;++i) printf("%d\n",rk[i]);    //h[rk[i]]>=h[rk[i]-1]-1 。    for(int i=0;i<n;++i)    {        if(k) --k;        j=sa[rk[i]-1];        while(s[i+k]==s[j+k]) ++k;        h[rk[i]]=k;    }}void init_RMQ(){    mm[0]=-1;    for(int i=1;i<=n;++i)    {        mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];        dp[i][0]=h[i];    }    for(int j=1;j<=mm[n];++j)        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);}int rmq(int x,int y){    if(x>y) swap(x,y);    int k=mm[y-x+1];    return min(dp[x][k],dp[y-(1<<k)+1][k]);}int main(){    scanf("%s",s);    n=strlen(s);    m=128;    for(int i=0;i<n;++i) r[i]=s[i];    get_sa(r,sa,h,rk,n,m);    //init_RMQ();    for(int i=1;i<=n;++i)        printf("%d%c",sa[i]+1,i==n?'\n':' ');    for(int i=2;i<=n;++i)        printf("%d%c",h[i],i==n?'\n':' ');    return 0;}

POJ-1743
菊苣博客

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>using namespace std;const int N = 1e5+7;int sa[N],c[N],t1[N],t2[N],rk[N],h[N],dp[N][20],mm[N],r[N];int s[N];int n,m;bool cmp(int *r, int a, int b, int l){    return r[a] == r[b] && r[a+l] == r[b+l] ;}//最后得到的 rk 在[0,n-1] 有效//h和sa均在[1,n]内有效void get_sa(int *s,int *sa,int *h,int *rk,int n,int m){    ++n;        //++n的原因是因为最后引入了一个0，因此预处理后显然sa[oldn]=0。    int p, *x = t1, *y = t2;    //基数排序：计算每个值的cnt，然后计算cnt的前缀和，标志每种值的在sa数组中的区间，    //然后将下标（后缀第一个字母的位置）放置到sa数组中。    for(int i=0;i<m;++i) c[i]=0;    for(int i=0;i<n;++i) ++c[x[i]=s[i]];    for(int i=1;i<m;++i) c[i]+=c[i-1];    for(int i=n-1;i>=0;--i) sa[--c[x[i]]]=i;    //k是倍增的大小，新的数组中，(x[i]，x[i+k])是一个pair。    //k<=n 因为极限情况是0+n==n。    for(int k=1;k<=n;k<<=1)    {        //sa倍增        //y是pair中第二个关键字排好序后对应的第一个关键字的下标。        //当sa[i]>=k时，才有第一个关键字。        p=0;        for(int i=n-k;i<n;++i) y[p++]=i;        for(int i=0;i<n;++i) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;        //基数排序，不过这里计算sa的时候根据y从后往前，因为考虑到第一关键字相同时，第二个关键字也是要升序的。        //x相当于s吧，不过每次被增后x会发生变化。        for(int i=0;i<m;++i) c[i]=0;        for(int i=0;i<n;++i) ++c[x[i]]; //这里和邝斌的不一样        for(int i=1;i<m;++i) c[i]+=c[i-1];        for(int i=n-1;i>=0;--i) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];        swap(x,y);        p=1;x[sa[0]]=0;   //sa[0]=n-1，相当于x[n-1]=0。        //给x赋新值，根据sa[i]升序，这样保证p最小。且相同的pair值一样。        for(int i=1;i<n;++i)            x[sa[i]] = cmp(y,sa[i-1],sa[i],k) ? p-1:p++;        if(p>=n) break;         //不同的值已经达到n就退出。        m=p;        //x中的最大值+1。    }    int k=0,j;    --n;    for(int i=0;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;  //rk[n]=0    //h[rk[i]]>=h[rk[i]-1]-1 。    for(int i=0;i<n;++i)    {        if(k) --k;        j=sa[rk[i]-1];        while(s[i+k]==s[j+k]) ++k;        h[rk[i]]=k;    }}void init_RMQ(){    mm[0]=-1;    for(int i=0;i<n;++i)    {        mm[i]=((i&(i+1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];        dp[i][0]=h[i];    }    for(int j=1;j<mm[n];++j)        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);}int rmq(int x,int y){    if(x>y) swap(x,y);    int k=mm[y-x+1];    return max(dp[x][k],dp[y-(1<<k)+1][k]);}bool check(int k){    int mx=-N,mi=N;    for(int i=2;i<=n;++i)    {        if(h[i]>=k)        {            mx=max(mx,max(sa[i],sa[i-1]));            mi=min(mi,min(sa[i],sa[i-1]));            if(mx-mi>k) return true;        }        else mi=N,mx=-N;    }    return false;}int main(){    while(~scanf("%d",&n))    {        if(n==0) break;        m=176;        for(int i=0;i<n;++i) scanf("%d",&s[i]);        --n;        for(int i=0;i<n;++i) r[i]=s[i+1]-s[i]+88;        //for(int i=0;i<n;++i) printf("%d\n",r[i]);        get_sa(r,sa,h,rk,n,m);        //for(int i=0;i<n;++i) printf("%d\n",sa[i]);        int l=1,r=n/2;        //for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",sa[i]);        while(l<r)        {            int mid=(l+r+1)>>1;            if(check(mid)) l=mid;            else r=mid-1;        }        ++l;        printf("%d\n",l>=5?l:0);    }    return 0;}