BZOJ 4498 魔法的碰撞

Description

魔法总是令战斗的局面变幻莫测。

然而魔力的碰撞则更是天马行空，甚至会出现无法控制而自取灭亡的情况。

因此，魔力碰撞总是没有办法的办法。

不过在战场上大家可不会想太多了：看到敌人，直接一阵法术秒杀之，规则神马的都是浮云了。因此，必须布阵时就避免可能的魔力碰撞。

设想有一条长度为L的战线，你可以把你的魔法师们安排在战线上的每个格子。每一个魔法师都有一个攻击范围di，排兵时必须保证任意两个魔法师的攻击范围的较大值小于等于它们之间的距离（距离即为它们坐标的差值）。为了更好地迷惑敌人，你须要求出总共有多少种布阵的方案。

Input

第一行两个整数L，n，n代表魔法师个数。

第二行n个数，描述魔法师的攻击范围di。

N≤40，di≤40，L≤1000000

Output

一行，一个整数，代表方案数mod 1000000007的值。

Sample Input

9 3
1 2 4

Sample Output

42

HINT

Source

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

组合数问题+DP+思路~

我们记a[i]=d[i]-1，方便计算组合数。

我们把所有魔法师都堆在一边，使得两两之间的距离都是最小的，假设此时魔法师的总长度是x，我们把剩余的空位都放在魔法师中间，这样，固定顺序的魔法师链总共有c(l-x,n)种摆放方式。

但是我们显然不能直接枚举魔法师的顺序。

所以我们把魔法师排序，然后从大到小放入序列中，这样，如果魔法师身边有一个空位，就能给总的最小距离贡献a[i]，如果没有空位，则这位魔法师的距离就已经被前面放入的魔法师覆盖了。这样，每位魔法师放入后都有三种情况：有左右两个空位（空位+1，距离+2*a[i]），有左或右一个空位（空位不变，距离+a[i]；注意这里有左右两种情况，答案*2），左右都没有空位（空位-1，距离不变）。

所以我们用f[i][j][k]表示放入第i位魔法师，放入后有j个空位，目前总距离为k时的方案数，那么直接用前面提到的三种情况更新即可。

初始化的时候sheng[0]=ni[0]=1！

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define mod 1000000007#define ll long longint n,l,a[41],sheng[1000001],ni[1000001],f[2][42][3201],kkz,now,ans;int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0' && ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}int mi(int u,int v){int now=1;u%=mod;for(;v;v>>=1,u=(ll)u*u%mod) if(v&1) now=(ll)now*u%mod;return now;}int c(int n,int m){return n<m ? 0:(ll)sheng[n]*ni[n-m]%mod*ni[m]%mod;}int main(){l=read();n=read();sheng[0]=sheng[1]=ni[0]=1;for(int i=2;i<=l;i++) sheng[i]=(ll)sheng[i-1]*i%mod;ni[l]=mi(sheng[l],mod-2);for(int i=l-1;i;i--) ni[i]=(ll)ni[i+1]*(i+1)%mod;for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read()-1;sort(a+1,a+n+1);f[kkz][1][0]=1;for(int i=n;i;i--){now+=a[i];kkz^=1;for(int j=0;j<=n-i+2;j++)  for(int k=0;k<=2*now;k++)  {  f[kkz][j][k]=(ll)f[kkz^1][j+1][k]*(j+1)%mod;  if(j && k>=a[i]) f[kkz][j][k]=(f[kkz][j][k]+((ll)f[kkz^1][j][k-a[i]]*j*2%mod))%mod;  if(j>1 && k>=a[i]*2) f[kkz][j][k]=(f[kkz][j][k]+((ll)f[kkz^1][j-1][k-2*a[i]]*(j-1)%mod))%mod;  }}for(int i=0;i<=2*now;i++) ans=(ans+((ll)f[kkz][0][i]*c(l-i,n)%mod))%mod;printf("%d\n",ans);return 0;}