51Nod--1013 3的幂的和

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求：3^0 + 3^1 +…+ 3^(N) mod 1000000007
Input
输入一个数N(0 <= N <= 10^9)
Output
输出：计算结果
Input示例
3
Output示例

题目给的数据很明显是一个首项为 1，公比为 3 的等比数列，按照要求，我们只需要求出这个等比数列的前 n 项和然后取模 1000000007 就可以了，当 n 过大的时候为了防止数据溢出我们需要用到一个规律：
a^n % mod = (((((a%mod)*a)%mod)*a%mod)*a%mod)…
等比数列前 n 项和：a1(1-q^n)/(1-q) 。为了快速求 q^n ，我们需要用到快速幂：

用这种思路求 q^n 的时间复杂度为O(logn)，下面是对应代码：

// mod 为 1000000007 ll getPow(ll x, ll n) {    ll res = 1;    while(n>0) {        // 如果是奇数        if(n&1) {            res = res*x%mod;        }        x = x*x%mod;        // 右移一位，指数除以2        n >>= 1;    }    return res; }

这样求出的结果因为对 mod 取余了，不一定能被 (1-q) 整除(等比数列前 n 项和 s(n) = a1*(1-q^n)/(1-q))，所以要想办法把除法变成乘法，或者换一种求和方法。如果采用第一种方法，需要用到逆元的思想：

若对于数字 A, C 如果存在 X，使得 A * X = 1 (mod C) 成立, 那么称 X 为 A 对C的乘法逆元。

例如：4关于1模7的乘法逆元为多少？
4X≡1 mod 7
这个方程等价于求一个X和K，满足
4X=7K+1
其中X和K都是整数。
若ax≡1 mod f, 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。
当a与f互素时，a关于模f的乘法逆元有解。如果不互素，则无解。如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。
例如，求5关于模14的乘法逆元：
14=5*2+4
5=4*1+1
说明5与14互素，存在5关于14的乘法逆元。
1=5-4=5-(14-5*2)=5*3-14
因此，5关于模14的乘法逆元为3。

以上例子来源于百度百科：http://baike.baidu.com/item/%E4%B9%98%E6%B3%95%E9%80%86%E5%85%83

在这题中， 2 关于 1000000007 的乘法逆元为 500000004 （2*500000004 = 1000000007 … 1）

那么代码就可以写出来了：

#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;typedef long long ll;const ll mod = 1000000007;ll getPow(ll x, ll n) {    ll res = 1;    while(n>0) {        if(n&1) {            res = res*x%mod;        }        x = x*x%mod;        n >>= 1;    }    return res; }int main() {    ll n;    ll res;    while(cin >> n) {        res = getPow(3, n+1);        cout << (res-1)*500000004%mod << endl;    }    return 0;}

下一种方法是换一种求和的方法，即不采用等比数列的前 n 项和公式，这里我们可以用下面的代码求和：

// 求首项为 a, 公比为 a 的等比数列的前 n 项和 ll sum(ll a, ll n) {    if(n == 1) {        return a;    }    // 先求出前面半数据的和     ll c = sum(a, n>>1)%mod;    // 利用前面一半的数据求出后面一半的数据的和     c = (c + c*getPow(a, n>>1)%mod)%mod;    if(n&1) {        // 如果 n 是奇数，还得加上最后一项         c = c + getPow(a, n)%mod;    }    return c%mod;}

这种方法的时间复杂度为O(logn)。对于题中的数据已经够小了

最后是第二种方法的代码：

#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;typedef long long ll;const ll mod = 1000000007;ll getPow(ll x, ll n) {    ll res = 1;    while(n>0) {        if(n&1) {            res = res*x%mod;        }        x = x*x%mod;        n >>= 1;    }    return res; }// 求首项为 a, 公比为 a 的等比数列的前 n 项和 ll sum(ll a, ll n) {    if(n == 1) {        return a;    }    // 先求出前面半数据的和     ll c = sum(a, n>>1)%mod;    // 利用前面一半的数据求出后面一半的数据的和     c = (c + c*getPow(a, n>>1)%mod)%mod;    if(n&1) {        // 如果 n 是奇数，还得加上最后一项         c = c + getPow(a, n)%mod;    }    return c%mod;}int main() {    ll n;    ll res;    while(cin >> n) {        res = sum(3, n);        // 加上第一项的 1(3^0)          cout << (res+1)%mod << endl;    }    return 0;}