快速幂和矩阵快速幂
来源:互联网 发布:python3进行数据分析 编辑:程序博客网 时间:2024/06/01 09:36
这篇博客讲的比较详细,关于快速幂和矩阵快速幂的。
http://blog.csdn.net/hikean/article/details/9749391
快速幂
快速幂就是计算a^n时,能使复杂度从O(n)降到O(logn)。
它的原理是这样的:
将n写成2进制形式,比如,求a^9。9的二进制写法为 1001,即
从最后一位开始看,是1,所以计算a^1,并加入到结果中,然后看倒数第二位,为0,只计算a^2,然后看倒数第三位,是0,同样只计算a^4,这时只需要利用上面的a^2结果,进行一次乘法即可。再看倒数第四位,为1,就计算a^8,并将其加入到最后结果中,只需要利用前面的a^4进行一次乘法计算即可。这样,结果中就是a^9的数了。
下面直接用代码说明它的意思:
#include <iostream>#include <algorithm>#include <string>using namespace std;#define mod 1000000007 //一般数都会很大,所以取模 而且类型都是long long类型的long long pow(int base, int n) //要计算 base^n{ long long ans = 1; long long multi = base; long long temp = n; while (temp > 0) { if (temp % 2 == 1) ans = (ans * multi); ans %= mod; multi *= multi; multi %= mod; temp /= 2; } return ans;}int main(){ int base = 5, n = 3; //求base^n cout << pow(5, 10000) << endl; return 0;}
矩阵快速幂
矩阵快速幂就是求矩阵的n次方,也使复杂度大大降低。一般这种情况下都会有一个递推式,比如斐波那契数列f(n)=f(n-1)+f(n-2).
所以,计算那个矩阵的n-1次方,然后确定出f(1)和f(2)的系数,就可以快速求出f(n)。
但是,这种斐波那契递推式是最简单的,很多题目中会加一些变量,题目的难点就是确定出这个矩阵。
比如:f(n)=f(n-1)+f(n-2)+n^3。这需要先推导一下,使
n^3=(n-1+1)^3=(n-1)^3+3*(n-1)^2+3*(n-1)+1
根据上述公式,确定要求的矩阵的幂指数,然后组合一下,就可以得到f(n)了。矩阵快速幂的代码在最下面给出。
除了这种递推式,还有一种类型是求前n项和。比如像上题,不要求求f(n),而是求f(1)+f(2)+……f(n),这样只需要在两个向量的最下边加上sum,构造一个7*7的矩阵,就可以了。还有那种求第i项到第n项的和,这时可以求S(n)-S(i-1),把它当做递推式。
下面代码是刚才6*6矩阵的那个题:
#include <iostream>#include <algorithm>#include <string>using namespace std;#define mod 1000000007 //一般数都会很大,所以取模 而且类型都是long long类型的#define num 6struct matrix //定义矩阵{ long long a[num][num]; void init(){ memset(a, 0, sizeof(a)); for (int i = 0; i < num; i++) a[i][i] = 1; //初始化为单位矩阵 }};matrix mul(matrix x, matrix y){ matrix c; for (int i = 0; i < num; i++) { for (int j = 0; j < num; j++) { long long temp = 0; for (int k = 0; k < num; k++) { temp += x.a[i][k] * y.a[k][j]; temp %= mod; } c.a[i][j] = temp%mod; } } return c;}matrix pow(matrix base, long long n) //要计算 base^n{ matrix ans; ans.init(); //首先初始化为方阵 matrix multi = base; long long temp = n; while (temp > 0) { if (temp % 2 == 1) ans = mul(ans, multi); multi = mul(multi, multi); temp /= 2; } return ans;}int main(){ matrix base;// {{ 1, 1, 1, 3, 3, 1 },// { 1, 0, 0, 0, 0, 0 },// { 0, 0, 1, 1, 1, 1 },// { 0, 0, 0, 1, 2, 1 },// { 0, 0, 0, 0, 1, 1 },// { 0, 0, 0, 0, 0, 1 } }; base.init(); //对数组赋值,只能一个个赋值了,但是因为之前初始化为了方阵,所以可以减轻工作量 base.a[0][0] = base.a[0][1] = base.a[0][2] = base.a[0][6] = base.a[1][0] = base.a[2][2] = base.a[2][3] = base.a[2][4] = base.a[2][5] = base.a[3][3] = base.a[3][5] = base.a[4][4] = base.a[4][5] = base.a[5][5] = 1; base.a[0][3] = base.a[0][4] = 3; base.a[3][4] = 2; base.a[1][1] = 0; long long n = 440; //求base^n matrix t = pow(base, n); long long fn = 0; int fn1 = 5, fn2 = 4, n3 = 1, n2 = 6, n1 = 8, n00 = 5; int f[num] = { fn1, fn2, n3, n2, n1, n00 }; for (int i = 0; i < num; i++) { fn += t.a[0][i]%mod * f[i]%mod; fn %= mod; } cout << fn << endl; return 0;}
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