illumination invariant image之恢复到彩色图像

原文：【Finlayson G D, Drew M S, Lu C. Entropy Minimization for Shadow Removal[J]. International Journal of Computer Vision, 2009, 85(1):35-57.】
【Finlayson G D, Drew M S, Lu C. Intrinsic Images by Entropy Minimization[C]// European Conference on Computer Vision. Springer Berlin Heidelberg, 2004:582-595.】

前面的如何产生一维的invariant image就不再赘述。这篇博客记录一下该论文中对于重建彩色图像的方法的学习。

生成一维invariant image是通过将2-d空间中的点投影至矫正角θ对应的直线上去。直线的方向为e^⊥，即e^⊥=[cosθ sinxθ]^T，则，I=
I = χ1 cos θ + χ2 sinθ。
那么，如下图所示

这个I值实际上等于点（x₀,y₀）到原点的距离（因为蓝色线为垂直于所有平行线的直线，所以只要平移其至原点即可）。
这边为什么说得到的颜色分布直线与光照无关，是因为对于同一个颜色，由于光照不同得到的点分布的直线，可以将其投影到垂线上，能得到唯一点，这样的话，说明这条直线为光照方向。
得到了1D的invariant image之后，即对于一幅图像，得到了每个颜色在蓝色线上的点到原点的距离。这是一个一维的变量。但是在前面已经求出了角度θ。这样的话就能够通过一个反变换得到蓝色线上每个点的坐标，即得到了2D的invariant image。

3D的invariant image表示：
这里首先要知道，由于在该算法中，首先将三维空间[R,G,B]中的点，通过比值（和log），取到了2D空间，
如果按照直接log（R/B）,log（G/B）的话，变换为U=[1 0;0,1;-1,-1]；如果按照几何均值来取的话，u=[2/3 -1/3;-1/3 2/3;-1/3 -1/3]。因此，可以再通过这个U矩阵将上面得到的2D值反变换到3D空间。
这边我之前看的时候，说存在问题是有比值的存在，导致回到3D空间之后也是比值，没有唯一解。这个理解是错误的。在2D空间内得到的值在log下确实是有个通道间的比值，但是，这个比值在通过log的时候可以转化为减，然后再逆变换，是可以解决的，所以再反变换回3D的时候，就不存在比值了，得到的是[logR’,logG’,logB’]，这个带’上标的值即是去万阴影的值。当然，图像会因此损失巨大。
不对。重新理一遍。
对于某一个点（R₀,G₀,B₀）,首先通过U矩阵，三维空间上的点均投影到平面（log（R/(RGB)^1/3），log（G/(RGB)^1/3））上，即此时（已把三维空间RGB转为logRGB）变换矩阵U=[2/3 -1/3 -1/3; -1/3 2/3 -1/3]^T。

崩溃。这边的该组内好几篇文章都写得比较乱。我自己做实验，直接有一维的inv恢复到三维的，效果也不好，产生的是视觉效果不好的伪彩色图像。

关于重建彩色图像，该组的主要思想是，通过比较原图（这边有做过mean-shift的预处理，用于去除噪声，得到更好更真实的图像边缘，通过压缩噪声和高频率出现的纹理）和得到的invariant image（一维的或者三维的，都是无阴影的）的边缘信息，获取由阴影造成的边缘，然后对这些边缘进行处理，使用双边滤波。

大概步骤如下（on the removal of shadows from images文中）：

1. 首先对于原图取log，在log空间观察数据。对于每一个通道，都可以求出关于坐标x和y的导数，即梯度，也就对应于图像的边缘信息；
2. 有上面得到的一维或三维invariant image，可以得到边缘的mask，这里的边缘已经不包括由于阴影的原因造成的了；
3. 比较1和2，log导数图（1）中存在的，而（2）中不存在的边缘点的梯度置为0，表示该点的灰度值没有发生跳变，即不存在边缘信息，剩下的边缘均是由于材料物质的变化造成的；
4. 整合边缘信息，重构彩色图像。这里利用了log图像的拉普拉斯算子（暂时不懂）。
   对于（3）中得到的结果，即上面去除边缘的log梯度图像再求梯度，得到log图像的拉普拉斯算子[1]。这些操作貌似就等价于对无阴影影响的log图像进行拉普拉斯操作[2]，然后再对其进行逆变换，就可以得到无阴影的图像了（这边用傅里叶变换啥的解决的）。两个拉普拉斯操作貌似不一样，第一个是跟前面得到的阴影边缘map有关系。

上述为主要步骤，但是由于图像边缘拉普拉斯算子以及阴影边缘实际上是有宽度的，因此采用了一些方法对上述步骤进行优化。