UVA 11300 Spreading the Wealth

题目来源

Description

圆桌旁坐着 n 个人， 每人有一定数量的金币， 金币总数能被 n 整除。 每个人可以给他左右相邻的人一些金币， 最终使得每个人的金币数目相等。 你的任务是求出被转手的金币数量的最小值。 比如 n=4, 且 4 个人的金币数量分别为 1,2,5,4 时， 只需转移 4 枚金币（第 3 个人给第 2 个人两枚金币， 第 2 个人和第 4 个人分别给第 1 个人 1 枚金币）即可实现每人手中的金币数目相等。

Input

输入包含多组数据。 每组数据第一行为整数 n (n <= 1 000 000), 以下 n 行每行为一个整数， 按逆时针顺序给出每个人拥有的金币数。 输入结束标志为文件结束符（EOF）。

Output

对于每组数据， 输出被转出的金币数量的最小值。 输入保证这个值在 64 位无符号整数范围内。

SampleInput

310010010041254

SampleOutput

04

Analyze

设现在每个人的财产为A1, A2, A3, ..., An， 最后均分的钱M = sum(Ai)/n.

Xi表示 第 i 号给第 i-1 号的金币数量，Xi < 0, 则第 i-1 号 给 第 i 号的金币。

那么：

对于第一个人： A1-X1+X2 = M => X2 = X1 - （A1 - M）对于第二个人： A2-X2+X3 = M => X3 = X2 - A2 + M = X1 - (A1 + A2 - 2M)对于第三个人： A3-X3+X4 = M => X4 = X3 - A3 + M = X1 - (A1 + A2 + A3 - 3M)...对于第 n 个人： An-Xn+X1 = M我们要求的是所有 Xi 的绝对值之和 S 最小。即：s = |X1| + |X2| + |X3| +... 要小。我们可以看到 |Xi| = |X1 - 一个已知的值|， 那么它所表示的几何意义就是数轴上点 X1 到  这个已知的值Ci 的距离。所以问题变成了： 给定数轴上的 n 个点， 请找出一个点 使得这个点到这 n 个点的距离和最小。这个点就是这些数的中位数。

证明：

画一个数轴图，然后任意找一个点移动， 然后求距离和，可以发现：

• n 为奇数时： 中间的那个点，距离和是最短的。
• n 为偶数时， 中间的那两个点的平均值那个位置，距离和是最短的。

Code

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <iostream>#include <cstring>#include <fstream>#include <map>#include <queue>#include <set>#include <cstdlib>#include <ctime>#include <vector>#include <cmath>#include <limits.h>using namespace std;const int maxn = 1000001 + 10;long long A[maxn], C[maxn];int main(){    int n;    while(scanf("%d", &n) == 1)    {        long long sum = 0;        for(int i=0; i<n; i++)        {            scanf("%lu", &A[i]);            sum += A[i];        }        sum = sum / n;        C[0] = 0;        for(int i=1; i<n; i++)        {            C[i] = C[i-1] + A[i] - sum;        }        sort(C, C+n);        long long X1 = C[n/2], ans=0;        for(int i=0; i<n; i++)  ans += abs(X1 - C[i]);        printf("%lld\n", ans);    }    return 0;}