傅里叶变换学习一
来源:互联网 发布:微商做图用什么软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/23 01:22
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傅里叶变换(Fotrier transform):线性的积分变换
连续傅里叶变换:
F(w)=F[f(t)]=∫∞−∞f(t)e−iwtdt 连续傅里叶逆变换:
f(t)=F−1[F(w)]=12π∫∞−∞F(w)eiwtdw 其中,
w 可表示为w=2πf
傅里叶级数:连续傅里叶变换是傅里叶级数的推广
f(x)=∑∞n=−∞Fneinx Fn=a0+∑∞n=1[ancos(nx)+bnsin(nx)] an 、bn 表示实频率分量的幅度
离散时域傅里叶变换(DTFT):傅里叶级数的逆变换,时域离散,频域周期
离散傅里叶变换(DFT):时域、频域均为离散,DTFT频域的再次采样
xn=∑N−1k=0Xkei2πNknn=0,⋯,N−1 其中,
Xk 为傅里叶幅度,计算复杂度为O(n2) ,使用快速傅里叶变换(FFT)复杂度为O(nlog(n))
1. 傅里叶变换的提出:
任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合来逼近。
对于有限长度离散的信号:(1)延拓为无限长信号,成为非周期性离散信号,使用DTFT;(2)延拓为无限长信号,成为周期性离散信号,使用DFT
计算机能处理的信号:离散的、有限长度数据,采用DFT处理
2. 实数离散傅里叶变换(Real DFT)
在计算机中,N个点可以表示周期为
频率种类固定,关键在于每个频率幅度的估计
DFT频率到时间的合成公式:
其中,
其中,
由上,实现时域到频域的变换。
3. 复数傅里叶变换
根据Tayler展开,可推导得到欧拉等式:
1)从时域到频域的变换
- 频率为
k 时的频谱密度可以表示为:
将其表示为复数形式:
其中,
【注:与实数傅里叶变换相异,实数傅里叶变换频谱范围只能取
频率为
k 时的频谱幅度可以表示为:此时频率
k 所占据频谱范围变成22N ,可得频谱幅度:X^[k]=1N∑i=0N−1x[i]e−j2πkiNk∈0,1⋯N−1
4. 逆向傅里叶变换
按照傅里叶变换的思路,通过相关性计算时域的幅值,可推得以下表达式:
直观上理解,将每个频域该时刻的幅值相加即得该时刻的幅值。如何进行数学上推导?
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