leetcode -- Unique Binary Search Trees

题目描述

给定一个n,我们可以构建多少棵二叉搜索树呢?使用值1~n填充树的节点.

举个例子,如果n=3,那么一共会存在5棵这样的树:

   1         3     3      2      1    \       /     /      / \      \     3     2     1      1   3      2    /     /       \                 \   2     1         2                 3

题目分析

这是一道非常经典的题目,很有意思.在此之前,我们有必要了解一下二叉搜索树的知识:

二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

需要注意的是, 如果以 i 节点为根,那么编号小于 i 的节点只可能出现在 i 的左子树中,编号大于 i 的节点只能出现在 i 的右子树中.

对于给定的1~n节点,我们知道,每个节点都可以充当二叉搜索树的根.

如果以1号节点为根,求这种类型的二叉搜索树一共有多少棵?那么问题可以转化为,求2~n节点所能够成的二叉搜索树的棵数.

如果以2号节点为根,求这种类型的二叉搜索树一共有多少颗?问题转化成了两个子问题,第一个子问题是求以1节点所能构成的二叉搜索树的棵数,第二个子问题是求以3~n节点所能构成的二叉搜索树的棵数.然后将两者相乘,得到结果.

如果以3号节点为根,求这种类型的二叉搜索树一共有多少颗?问题转化成了两个子问题,第一个子问题是求以1,2节点所能构成的二叉搜索树的棵数,第二个子问题是求以3~n节点所能构成的二叉搜索树的棵数.然后将两者相乘,得到结果.

…

如果以n号节点为根,求这种类型的二叉搜索树一共有多少颗?那么问题可以转化为,求1~n-1节点所能够成的二叉搜索树的棵数.

然后将上面的结果加起来,就可以得到问题的解.

#include <iostream>using namespace std;class Solution {public:    int numTrees(int n) {        int dp[4000];        dp[0] = 0; dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 5;        for (int i = 4; i <= n; i++) {            int sum = 0;            for (int j = 1; j < i - 1; j++)                sum += dp[j] * dp[i - 1 - j];            dp[i] = sum + 2 * dp[i - 1];        }        return dp[n];    }};int main(){    Solution so;    cout << so.numTrees(4) << endl;    getchar();}

题目扩展

得到这些二叉搜搜索树

直接上代码吧:

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;struct TreeNode {    int val;    TreeNode *left;    TreeNode *right;    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}};class Solution {    vector<TreeNode *> generateTrees(int begin, int end) {        vector<TreeNode *> trees;        if (begin > end) {            trees.push_back(NULL); /* 空树 */            return trees;        }        if (begin == end) {            trees.push_back(new TreeNode(begin));            return trees;        }        for (int root_idx = begin; root_idx <= end; root_idx++) {            vector<TreeNode *> ltrees = generateTrees(begin, root_idx - 1); /* 左子搜索树 */            vector<TreeNode *> rtrees = generateTrees(root_idx + 1, end); /* 右子搜索树 */            for (auto ltree : ltrees) {                for (auto rtree : rtrees) {                    TreeNode *tree = new TreeNode(root_idx);                    tree->left = ltree; tree->right = rtree;                    trees.push_back(tree); /* 合并成新树 */                }            }        }        return trees;    }public:    vector<TreeNode*> generateTrees(int n) {        if (n == 0) return vector<TreeNode *>();        return generateTrees(1, n);    }};int main(){    Solution so;    cout << so.generateTrees(4).size() << endl;    getchar();}