斜率优化+单调队列优化DP<转>

最近发现HDU上的题目ms比POJ上的好些似的， 因为每次都是一道题搞一天。 也说明我真的还是很菜啊。 昨天搞了一道题，一道最短路的题目，弄了一天。其实最主要的原因是没有搞清楚Dijkstra、SPFA、Bellman_ford这几个最短路算法的复杂度。这里作个总结，数组实现的Dijkstra，复杂度为O(N^2)；用优先队列优化的Dijkstra复杂度为O(ElogE)，但是图需要用邻接矩阵实现；Bellman_ford，O(VE)；SPFA,O(KE),K<<V; HDU 3349，给出一张图，题意是可以选择一条边进行减半，其他的不能变，求从S到T的最短路。直接枚举每条边，然后进行Dijkstra,由于题意中的N给了1e5，N^2的算法显然会超时，分析一下可知，超时的原因是每次只枚举了一条减半的边，但是重复求了其他点的最短路，一个优化是将S到每个点的最短路保存在一个数组里，然后求出每个点到T点的最短路。依次枚举每条边，min = MIN(sDis[i] + tDis[j] + cost[i][j]/2 ),<i,j> ;求两次最短路的时候，可以用Heap+Dijkstra,当然更容易实现的自然是SPFA。 一开始没有想到用SPFA，一直过不了，调了半天，一直WA。 然后就是看到了网上有人用SPFA，换了SPFA，但是没有考虑起点和终点是同一个点的情况，各种WA。 最后msWA了20+次，才AC， 汗。。。。。

 

    今天做了一道DP的题目，题意如下：

【题目大意】

有N个数，现要将它们分成连续的若干段，每段的代价为(∑Ci)^2+M，求最小的代价。

【题目分析】

容易得到这样的一个动态规划算法：

令dp[i]表示前i个数分成若干段的最小代价，能得到一个经典的动态转移方程： 

dp[i]=  Min  (dp[j] + Cost(j+1,i))+M，0<=j<i。 

其中Cost(a,b)表示把a..b这些数分成一段的费用。

这个算法的时间复杂度是O(N^2)。 这题N有500000，必须优化。

我们看到Cost(j+1,i)。如果预处理出1..i的和，记为s[i]，那么Cost可以表示为(s[i]-s[j])^2。

将它展开并且代入转移方程中可以得到：dp[i]= Min (dp[j] + s[i]^2 -2s[i]*s[j] +s[j]^2)+M。

因为s[i]^2是只和i有关的，可以移到Min的外面，得到

dp[i]= Min (dp[j] -2*s[i]*s[j] +s[j]^2) + M + s[i]^2。

现在我们单独考虑Min()里面的内容。

如果我们设k=2*s[i],x=s[j],y=dp[j]+s[j]^2的话（注意将和i有关的量以及和j有关的量结合到一起）

再令G=dp[i]，那么将得到：

G=-k*x+y。

移项得：

y=k*x+G。

看到这个式子，知道斜率优化的朋友显然可以做出来了。

这里我讲讲何谓斜率优化。

得到这个式子之后，我们可以看到，k是一个常数（由当前枚举的i在O(1)时间内计算得出）。将这个式子看成是一个直线的函数表达式的话，k就是斜率，也就是说这是一个斜率固定的直线。

y和x则是和j有关的常量。而j的这些值应该都已经在之前计算过了。（因为j<i）

这个式子中，G是未知的，G和y以及x有关。

如果我们把每个j对应的x和y值看成一个坐标系中的点的话。

那么当我们枚举到i时，坐标系中就有一系列的点。

对于每个点，做一条斜率为k的直线，就能得到一个G的值。G的值为这条直线与y轴交点的纵坐标。

我们可以看到，实际上，如果我们让G的值由负无穷变化到正无穷，相当于一条直线，它满足斜率为k，然后从坐标系的下方慢慢地向上平移到坐标系的上方。

那么，我们要找到，G的最小值，就是在这个过程中，这条直线所碰到的第一个点！

而这个点，必然是这个点集的凸包上的点。（不知道凸包概念的去baidu一下好了）

再加上很关键的一点。随着i的增加，点的坐标是单调不下降的（s[i]），直线的斜率也是单调不降的(2s[i])！

满足这两个单调性，我们就可以利用单调队列，来维护一个凸壳。因为我们要找G的最小值，所以要维护一个下凸壳。方法和之前那篇数形结合题一样，类似Garham求凸包的算法。

之所以可以用单调队列是因为坐标和斜率都满足单调性的话，可以证明每个点如果不是某个i的最优决策，也不能会是之后的i的最优决策，可以被抛弃。

因为每个i只会进出队列一次，所以时间复杂度降为O(N)，只需要保存单列就可以，空间复杂度为O(N)，比较完美地解决了这个问题。