树学习（5）

1.   二元查找树的任何结点的左右子树都是二元查找树。

分析：二元查找树： 它首先要是一棵二元树，在这基础上它或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二元树：（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；（3）左、右子树也分别为二元查找树

 

2.   树中的结点和图中的顶点就是指数据结构中的数据元素。

 

3.   还原树必须要包括中序序列在内的任意两种序列。

 

4.   若二叉树用二叉链表作存储结构，则在n个结点的二叉树链表中只有n-1个非空指针域。

 

补充：在一个包含n个结点的四叉树，每个节点都有四个指向孩子结点的指针。这4n个指针中有3n+1个空指针。

分析:n个结点为一棵树则有n-1条边，因此有n-1个非空指针，所以空指针数目为4n-(n-1)=3n+1;

 

5.   在二叉树结点的前序序列、中序序列和后序序列中，所有叶节点的先后顺序：完全相同。

分析：因为根据三个遍历的次序和特点：前序是根左右、中序是左根右、后序是左右根，因此相对次序发生变化的都是子树的根，也就是分支结点（或者说非叶子结点，度数>0）。叶结点的先后顺序是不变的。

变化的只是非叶子的结点位置，叶子结点的相对位置是不变的。

 

6.   平衡二叉树中插入一个节点后造成不平衡，设最低的不平衡结点为A，并已知A的左孩子的平衡因子为0，右孩子的平衡因子为1，则应作RL型调整以使其平衡。

分析：平衡因子=左子树高度-右子树高度。

LL:左子树的左孩子上插入;LR左子树的右孩子插入；以此类推，然后平衡因子的计算是左边的减去右边的。得出的值来判断属于前4种情况的哪一种，然后调整；LL往右边转，转完以后缺哪补哪，RR往左边转。LR先右后左，RL先左后右。其中LR是先转成LL，RL是先转成RR

 

补充：若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。

 

失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

（1）LL型平衡旋转法

由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来 B 的右子树则变成A的左子树。

（2）RR型平衡旋转法

由于在A的右孩子C的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来 C 的左子树则变成A的右子树。

（3）LR型平衡旋转法

由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为LL型，再按LL型处理。

如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为LL型，再按LL型处理成平衡型。

 

（4）RL型平衡旋转法

由于在A的右孩子C的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先顺时针，后逆时针），即先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提升到 C 结点的位置，然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为RR型，再按RR型处理。

如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为RR型，再按RR型处理成平衡型。

 

平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点（其中一个可能是外部节点NULL），旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right一定不为空，右旋的时候p->left一定不为空，这是显而易见的。

 

如果从空树开始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现bf == 2或者bf == -2的节点。

7.   B系列树，包括B树、B+树、B*树，所有叶子节点都在同一层，所以左右子树的高度都是相等的。

M阶B-树的任一个结点要么有m个孩子，要么没有孩子。

 

8.   一个有n个结点的连通图的生成树是原图的最小连通子图，且包含原图中所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边。最大生成树就是权和最大生成树，现在给出一个无向带权图的邻接矩阵，权为0表示没有边。{{0,4,5,0,3}，{4,0,4,2,3}，{5,4,0,2,0}，{0,2,2,0,1}，{3,3,0,1,0}}，求这个图的最大生成树的权和。

分析：

利用kruskal，不同的是，这次我们按照从大到小的顺序，从图中选择边，同时保证选择该边不会与之前选过的边组成一个回路。最终选择5 4 3 2 四条边。

 

9.   树的先序遍历，如果采用非递归方式，需要用栈作为辅助空间。

深度优先搜索借助栈；广度优先搜索借助队列。

 

10. 二叉树的形态个数就是卡特兰数C(2n,n)/(n+1).对一颗二叉树进行后序遍历，输出结果为A,B,C,这样的二叉树有5颗。

 

11. 根据“二叉树T中任一结点V，其编号等于左子树上最小编号减一，而V的右子树的结点中,其最小编号等于V左子树上结点的最大编号加1”可知符合前序遍历的性质。