无损联接分解

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定义：无损联接分解是将一个关系模式分解成若干个关系模式后，通过自然联接和投影等运算仍能还原到原来的关系模式，则称这种分解为无损联接分解。

 

 

可还原

 

 

例1：关系模式：成绩（学号，姓名，课程号，课程名，分数）

函数依赖：学号->姓名，课程号->课程名， （学号，课程号）->分数

若将其分解为下面三个关系模式：

 

成绩（学号，课程号，分数）

学生（学号，姓名）

课程（课程号，课程名）

问，这样的分解是无损分解么？

----

由于：学号->姓名，所以：

成绩（学号，课程号，分数，姓名）

由于：课程号->课程名，所以：

成绩（学号，课程号，分数，姓名，课程名）

 

所以这个例子是无损分解

 

例2：设R=ABCDE, R1=AD,R2=BC,R3=BE,R4=CDE, R5=AE, 设函数依赖：

A->C, B->C, C->D, DE->C, CE->A. 判断R分解成

 

ρ={R1,  R2,  R3,  R4,  R5}是否无损联接分解？

 

解：

这样的题要通过画表的方法来解，首先，原始表：

 

 

A

B

C

D

E

AD

a₁

b₁₂

b₁₃

a₄

b₁₅

BC

b₂₁

a₂

a₃

b₂₄

b₂₅

BE

b₃₁

a₂

b₃₃

b₃₄

a₅

CDE

b₄₁

b₄₂

a₃

a₄

a₅

AE

a₁

b₅₂

b₅₃

b₅₄

a₅

表1

(A B C D E是关系R的属性， AD, BC, BE, CDE, AE 是分解之后每一个关系对应的属性集)

 

填表的过程：

当横竖相交的时候，如果在分解关系中存在对应列的单个的属性（譬如第一列第一行AD与A相交的单元格，AD含有A，就填写a₁），则填写a_下标 ， 下标就是单元格对应所在的列号。否则填写b_下标， 下标是单元格对应所在的行列号。

填写之后的初始表就是表1所示

2.根据依赖关系修改原始表：

对于依赖关系A->C，看A列中有两行a₁是相等的（第一行和第五行），所以在C列中对应的两行也应该相等，但是看到这两行都是b（b₁₃，b₅₃），所以将这个b都换成b₁₃（上面的较小的标）

 

 

A

B

C

D

E

AD

a₁

b₁₂

b₁₃

a₄

b₁₅

BC

b₂₁

a₂

a₃

b₂₄

b₂₅

BE

b₃₁

a₂

b₃₃

b₃₄

a₅

CDE

b₄₁

b₄₂

a₃

a₄

a₅

AE

a₁

b₅₂

b₅₃àb₁₃

b₅₄

a₅

对于依赖BàC, 同样的道理，看B这一列中，第二行和第三行都是a₂,那么对C这一列同样的操作，但是看到C这一列中第二行是a₃，那么就将第三行改成a₃，优先级比b要高。

 

A

B

C

D

E

AD

a₁

b₁₂

b₁₃

a₄

b₁₅

BC

b₂₁

a₂

a₃

b₂₄

b₂₅

BE

b₃₁

a₂

b₃₃àa₃

b₃₄

a₅

CDE

b₄₁

b₄₂

a₃

a₄

a₅

AE

a₁

b₅₂

b₁₃

b₅₄

a₅

 

对依赖CàD，C列的1，5行相等，D的1，5行也应该相等，D的第1行有a，所以b₅₄换成a₄；另外C列的2，3，4行也相等，D的2，3，4行也应该相等，D的第4行有a，所以将对应的行都换成a₄

 

A

B

C

D

E

AD

a₁

b₁₂

b₁₃

a₄

b₁₅

BC

b₂₁

a₂

a₃

b₂₄àa₄

b₂₅

BE

b₃₁

a₂

a₃

b₃₄àa₄

a₅

CDE

b₄₁

b₄₂

a₃

a₄

a₅

AE

a₁

b₅₂

b₁₃

b₅₄àa₄

a₅

 

 

对于DEàC, DE公共的相等的行是3，4，5行，对应C的3，4，5行也应该相等，故将C列的两个的b₁₃换成a₃，所以表格经过这个函数依赖关系，就是： 

 

A

B

C

D

E

AD

a₁

b₁₂

b₁₃àa₃

a₄

b₁₅

BC

b₂₁

a₂

a₃

a₄

b₂₅

BE

b₃₁

a₂

a₃

a₄

a₅

CDE

b₄₁

b₄₂

a₃

a₄

a₅

AE

a₁

b₅₂

b₁₃àa₃

a₄

a₅

 

对于CEàA, CE的公共行是3，4，5行，所以将A的3，4，5行也对应相等，因为A列的第五行含有a₁，所以将3，4行的b₃₁,b₄₁都换成_a1

 

最终得到的表格就是：

 

 最后，我们从表格里看到对于DE行来说，都是a，所以得出结论，题中的分解是无损联接分解

 

********************

 

无损分解的一个简便的判别方法（适用于分解成2个关系的情况）

 

譬如：

有关系R=ABC, 依赖关系{A-->B}那么下面哪个是无损分解：

 

A. {R₁(AB),R₂(AC)} 

B.{R₁(AB),R₃(BC)}

 

首先看选项A，R₁∩R₂=A，R₁-R₂=B，R₁U R₂-->(R₁-R₂).所以它是无损分解

选项B， R₁∩R₂=B, R₁-R₂=A, R₂-R₁=C,

所以它不是无损分解

 

那么这里快速判断无损分解的方法就是

对两个集合先求集合的∩，然后求集合的差(2个集合有两个差的结果)

如果集合的∩-->集合的差（得到差结果的任意一个）成立那么就是无损分解

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