压缩感知“Hello World”代码初步学习
来源:互联网 发布:软件专利 实用新型 编辑:程序博客网 时间:2024/05/19 20:42
1. 原始信号f是什么?我采集的是原始信号f还是y = Af得到的y?
记原始信号为f,我们在sensor方得到的原始信号就是n*1的信号f,而在receiver方采集到的信号是y。针对y=Af做变换时,A(m*n )是一个随机矩阵(真的很随机,不用任何正交啊什么的限定)。通过由随机矩阵变换内积得到y,我们的目标是从y中恢复f。由于A是m*n(m<n)的,所以原信号f(n*1)信号被压缩到y(m*1)。
2. 有的地方写 y =Ax, 有的地方写 y=Dx,这里A和D只是符号的区别吗?压缩感知问题中的字典是什么?
不是只有符号区别!详见开始我写的参考文献中公式(4)(5),f可以通过矩阵分解(SVD/QR)得到正交矩阵的线性组合,即:
这里ψ是n*n的正交矩阵,x是与ψ内积能够得到f的n*1向量,相当于系数。这里终于出现了稀疏的定义!!!假定x是稀疏的(注意是x而非f)!
为什么要把f分解呢?因为A是非常随机的随机矩阵啊!竟然随机!?这样如果A非常稀疏,那么y还能恢复的出来?
对!所以我们要将f分解为正交阵和向量的线性组合。
好,带入y=Af,得
因为A是随机矩阵,ψ是n*n的正交矩阵,所以A乘以ψ相当于给A做了一个旋转变换,其结果Aψ还是一个随机矩阵。这里的Aψ才是D,也就是字典!于是乎,形成了
其中x假设是稀疏的,但并非最初的采样值,D是恢复(重建)矩阵。
这就是D与A的区别。
3. 为什么在MP和OMP算法中,要用一个随机矩阵乘以一个正交傅里叶矩阵?
在“压缩感知” 之 “Hello World”这篇文章中,我们采用OMP算法求取稀疏矩阵x,用了一个随机矩阵A和傅里叶正变换矩阵ψ相乘得到字典D,但事实上这只是一个例子而已,我们还可以有很多其他选择,包括随机矩阵的选取和什么样的正交阵,都可以有变化。
上面我们假定了y=Dx中x是稀疏的,就可以应用压缩感知的理论,通过Matching pursuit或者basis pursuit进行x重建了。
重建之后呢,由于x并非原始信号f,只需将ψ与恢复出的信号x进行内积,就可以恢复出原始信号f。
4.有几种常用的测量方式?
三种:
A. 产生一个随机矩阵(Gaussian /Bernoulli Distribution),与原始信号f相乘
B. 在fourier变换域采样
C. 线积分(即拉当变换(Radon)),广泛用于断层扫描。在不同方向对信号(想成图像好了)做积分,形成的不同曲线即为不同测量。
5. 有误差或者噪声的时候Compressive Sensing还管用吗?
在实际情况中呢,我们获得的数据含有噪声。相应的,用含有噪声的模型:
所以说,y是干净样本和噪声样本的叠加。
这里噪声e可以假定具有高斯分布或者什么分布具体情况具体分析。
实际样本的目标函数有以下两种:
这两种目标函数的本质是一样的,
- 对于第一种,约束项就是误差。当误差小于一个threshold(δ)时,即AE这个噪声符合理论前提条件时,进行optimize
- 对于第二种,就直接把误差项写入目标函数(loss function)
6. 压缩感知问题怎样确定稀疏度?
稀疏度是CS中一个很头痛的问题,这里仅给出基本思路,因为我也没有具体实践过。
Method:
% 1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit) % 测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构 % 编程人--香港大学电子工程系 沙威 Email: wsha@eee.hku.hk % 编程时间:2008年11月18日 % 文档下载: http://www.eee.hku.hk/~wsha/Freecode/freecode.htm % 参考文献:Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert % Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching % Pursuit,IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12, % DECEMBER 2007. clc;clear %% 1. 时域测试信号生成 K=7; % 稀疏度(做FFT可以看出来) N=256; % 信号长度 M=64; % 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率) f1=50; % 信号频率1 f2=100; % 信号频率2 f3=200; % 信号频率3 f4=400; % 信号频率4 fs=800; % 采样频率 ts=1/fs; % 采样间隔 Ts=1:N; % 采样序列 x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信号,由4个信号叠加而来 %% 2. 时域信号压缩传感 Phi=randn(M,N); % 测量矩阵(高斯分布白噪声)64*256的扁矩阵,Phi也就是文中说的D矩阵 s=Phi*x.'; % 获得线性测量 ,s相当于文中的y矩阵 %% 3. 正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题) %匹配追踪:找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波;在数据中去除这个标记的所有印迹;不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。 m=2*K; % 算法迭代次数(m>=K),设x是K-sparse的 Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N); % 傅里叶正变换矩阵 T=Phi*Psi'; % 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵) hat_y=zeros(1,N); % 待重构的谱域(变换域)向量 Aug_t=[]; % 增量矩阵(初始值为空矩阵) r_n=s; % 残差值 for times=1:m; % 迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K) for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量 product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值) end [val,pos]=max(product); % 最大投影系数对应的位置,即找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波 Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; % 矩阵扩充 T(:,pos)=zeros(M,1); % 选中的列置零(实质上应该去掉,为了简单我把它置零),在数据中去除这个标记的所有印迹 aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; % 最小二乘,使残差最小 r_n=s-Aug_t*aug_y; % 残差 pos_array(times)=pos; % 纪录最大投影系数的位置 end hat_y(pos_array)=aug_y; % 重构的谱域向量 hat_x=real(Psi'*hat_y.'); % 做逆傅里叶变换重构得到时域信号 %% 4. 恢复信号和原始信号对比 figure(1); hold on; plot(hat_x,'k.-') % 重建信号 plot(x,'r') % 原始信号 legend('Recovery','Original') norm(hat_x.'-x)/norm(x)
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