离散基础 (15). 调和级数分析

1. 定义

Hn=∑k=1n1k

2. 问题描述
调和级数Hn直观上可以理解为在服从牛顿重力力学原理的前提下，问桌子边缘能摞起的最大可能的悬空部分的长度是多少？

3. 问题分析
我们假设纸牌的长度为2，

当1张纸牌时，最大可能的悬空部分的长度为1，此时这张纸牌的重心刚好在桌子的边缘线上；

当2张纸牌时，最大可能的悬空部分的长度为1+12，此时这两张纸牌的重心刚好在桌子的边缘线上；

当3张纸牌时，最大可能的悬空部分的长度为1+12+13，此时这三张纸牌的重心刚好在桌子的边缘线上；

……

类似地，可以归纳，并证明，

当n张纸牌时，最大可能的悬空部分的长度为∑k=1n1k，此时这n张纸牌的重心刚好在桌子的边缘线上；

4. 调和函数其他数学性质
调和级数的发散性证明不再累赘，详见： https://wenku.baidu.com/view/c1ba3b3643323968011c9251.html

5. Matlab算法实现
harmonic_plot.m

function harmonic_plot(n)% compute harmonic numbers, where n > 1t = 1;for i = 2:n    t = [t, t(i-1)+1/i];end% plotplot(t,'linewidth',1.2);legend('H_n=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n');xlabel('n');ylabel('H_n');

Terminal

>> harmonic_plot(3000)

Results

Reference
1. https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_%28mathematics%29
2. https://wenku.baidu.com/view/c1ba3b3643323968011c9251.html
3. http://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/51493952