牛客网算法学习笔记-动态规划（1）

题目：有数组penny，penny中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim(小于等于1000)代表要找的钱数，求换钱有多少种方法。

给定数组penny及它的大小(小于等于50)，同时给定一个整数aim，请返回有多少种方法可以凑成aim。

测试样例：

[1,2,4],3,3

返回：2

使用三种方法实现：

一、暴力搜索方法

  思路：使用penny[0]的个数为0，让penny[0....n-1]组成aim的结果数记为res1

            使用penny[0]的个数为1，让penny[0....n-1]组成aim-penny[0]的结果数记为res2

            以此类推，将有所的res加起来就是最终的方法数。

class Exchange {
public:
    int countWays(vector<int> penny, int n, int aim) {
        //暴力搜索方法：
        if(penny.size()==0||aim<0)
            return 0;
        return process1(penny,0,aim);
        
    }
    int process1(vector<int> arr,int index,int aim){
        int res=0;
        if(index==arr.size())
            res=aim==0?1:0;
        else{
            for(int i=0;arr[index]*i<=aim;i++)
                res+=process1(arr,index+1,aim-arr[index]*i);
        }
        return res;
    }

二、记忆搜索的方法

思路：观察暴力搜索方法，我们会发现在迭代的过程中有很多都是重复的index和aim，这就造成了冗余，我们用map记录，index和aim这两个数作为key，它们对应相应的值value，并在下一次操作时有新的index和aim，我们先判断新的key是否已经存在，然后在进行操作。这种方法减少了暴力搜索带来的冗余，减少了时间复杂度。

class Exchange {
public:
    int countWays(vector<int> penny, int n, int aim) {
       
        //记忆搜索方法：
        if(penny.size()==0||aim<0)
            return 0;
        int **map=new int*[n+1];
        for(int i=0;i<n+1;i++)
            map[i]=new int[aim+1];
        for(int i=0;i<n+1;i++)
            for(int j=0;j<aim+1;j++)
                map[i][j]=-1;
        return process2(penny,0,aim,map);*/
       
    }
    
    int process2(vector<int> arr,int index,int aim,int **map){
        int res=0;
        if(index==arr.size())
            res=aim==0?1:0;
        else{
            int mapVal=0;
            for(int i=0;arr[index]*i<=aim;i++){
                mapVal=map[index+1][aim-arr[index]*i];
                if(mapVal!=-1)
                    res+=mapVal==-1?0:mapVal;
                else
                    res+=process2(arr,index+1,aim-arr[index]*i,map);
            }
                   
        }
        map[index][aim]=res==0?-1:res;
        return res;
    }
};

三、动态规划的方法

思路：生成一个行数为n，列数为aim+1的矩阵dp，dp[i][j]的含义是在使用penny[0,.....,i]货币的情况下组成的钱数j有多少种方法。

其中dp[0,...,n-1][0]=1，因为当aim=0时，所有种类的货币组成aim的种类都是一种即penny[i]*0=aim 0<=i<=n-1;

其中，当j%penny[0]==0时，即j为penny[0]的倍数时，dp[0][j]=1，其余情况dp[0][j]=0 0<=j<=aim+1；

剩余的dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-penny[i]*1]+dp[i-1][j-penny[i]*2].....直到j-penny[i]*x<0

上式也可以简化：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-penny[i]]，因为dp[i][j-penny[i]]=dp[i-1][j-penny[i]*2]+.....

class Exchange {
public:
    int countWays(vector<int> penny, int n, int aim) {
       
        //动态规划
        int dp[n][aim+1];
        for(int i=0;i<n;i++)
            dp[i][0]=1;
        for(int i=0;i<aim+1;i++){
            if(i%penny[0]==0)
                dp[0][i]=1;
            else
                dp[0][i]=0;
        }
        for(int i=1;i<n;i++)
            for(int j=1;j<aim+1;j++){
                if(j-penny[i]>=0)
                    dp[i][j]=dp[i][j-penny[i]]+dp[i-1][j];
                else
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
                
        return dp[n-1][aim];
        
    }