快速浮点开方运算

二分法

浮点开方也就是给定一个浮点数x，求根号x。这个简单的问题有很多解，我们从最简单最容易想到的二分开始讲起。利用二分进行开平方的思想很简单，就是假定中值为最终解。假定下限为0，上限为x，然后求中值；然后比较中值的平方和x的大小，并根据大小修改下限或者上限；重新计算中值，开始新的循环，直到前后两次中值的距离小于给定的精度为止。需要注意的一点是，如果x小于1，我们需要将上限置为1，原因你懂的。
代码如下：

#define eps 2^(-51)float SqrtByBisection(float n){    float low, up, mid, last;    low = 0, up = (n < 1 ? 1 : n);    mid = (low + up) / 2;    do{        if (mid * mid > n)up = mid;        else low = mid;        last = mid;        mid = (low + up) / 2;    } while (fabsf(mid - last) > eps);    return mid;}

这种方法非常直观，也是面试过程中经常会问到的问题，不过这里有一点需要特别注意：在精度判别时不能利用上下限而要利用前后两次mid值，否则可能会陷入死循环！这是因为由于精度问题，在循环过程中可能会产生mid值和up或low中的一个相同。这种情况下，后面的计算都不会再改变mid值，因而在达不到精度内时就陷入死循环。但是改为判断前后两次mid值就不会有任何问题（为啥自己想）。大家可以找一些例子试一下，这可以算是二分法中的一个trick。二分虽然简单，但是却有一个非常大的问题：收敛太慢！也即需要循环很多次才能达到精度要求。这也比较容易理解，因为往往需要迭代3到4次才能获得一位准确结果。为了能提升收敛速度，我们需要采用其它的方法。

牛顿迭代法

原理也比较简单，就是将中值替换为切线方程的零根作为最终解。原理可以利用下图解释：

#define eps 2^(-51)float SqrtByNewton(float x){    float val = x, last;    do{        last = val;        val = (val + x / val) / 2;    } while (fabsf(val - last) > eps);}