Kruskal算法(贪心+并查集=最小生成树)
来源:互联网 发布:挪威留学 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 09:15
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Kruskal算法的高效实现需要一种称作并查集的结构。我们在这里不介绍并查集,只介绍Kruskal算法的基本思想和证明,实现留在以后讨论。
Kruskal算法的过程:
(1) 将全部边按照权值由小到大排序。
(2) 按顺序(边权由小到大的顺序)考虑每条边,只要这条边和我们已经选择的边不构成圈,就保留这条边,否则放弃这条边。
算法 成功选择(n-1)条边后,形成一个棵最小生成树,当然如果算法无法选择出(n-1)条边,则说明原图不连通。
(2) 按顺序(边权由小到大的顺序)考虑每条边,只要这条边和我们已经选择的边不构成圈,就保留这条边,否则放弃这条边。
算法 成功选择(n-1)条边后,形成一个棵最小生成树,当然如果算法无法选择出(n-1)条边,则说明原图不连通。
以下图为例:
处理边CD,点C与点D在同一个集合里,放弃CD。
Kruskal算法的证明。假设图连通,我们证明Krusal算法得到一棵最小生成树。我们假设Kruskal算法得到的树是K (注意我们已经假设Kruskal算法一定可以得到生成树)。假设T是一棵最小生成树,并且K ≠T, K中显然至少有一条边。我们找到在K中,而不在T中最小权值的边e。
把e加入T中,则形成一个圈,删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。
f的存在性,如果全里面所有的边都在K中,则K包含圈,矛盾。
考虑边权值关系:
(1) 若w(f) > w(e), 则T’的权值和小于T的权值和,与T是最小生成树矛盾。
(2) 若w(f) < w(e), 说明Kruskal算法在考虑加入e之前先考虑了边f,之所以没加入f是因为f和之前加入的边形成圈,之前加入的边权值显然不超过w(f) (因为加边是从小到大的顺序加入的),所以之前加入的边权值一定小于w(e)。而根据e的定义,K中权值小于w(e)的边都在T中,这说明T中的边会和f构成圈,矛盾。
所以只能w(f) = w(e)。T’仍然是最小生成树,而T’和K相同的边多了一条。
这样下去有限步之后,最终可以把T变为K,从而K也是最小生成树。
边排序后为:
1 AF 1
2 DE 4
3 BD 5
4 BC 6
5 CD 10
6 BF 11
7 DF 14
8 AE 16
9 AB 17
10 EF 33
算法处理过程如下:
处理边AF,点A与点F不在同一个集合里,选中AF。
处理边DE,点D与点E不在同一个集合里,选中DE
处理边BD,点B与点D不在同一个集合里,选中BD
处理边BC,点B与点C不在同一个集合里,选中BC
处理边BF,点B与点F不在同一个集合里,选中BF。
至此,所有的点都连在了一起,剩下的边DF,AE,AB,EF不用继续处理了,算法执行结束。
把e加入T中,则形成一个圈,删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。
f的存在性,如果全里面所有的边都在K中,则K包含圈,矛盾。
考虑边权值关系:
(1) 若w(f) > w(e), 则T’的权值和小于T的权值和,与T是最小生成树矛盾。
(2) 若w(f) < w(e), 说明Kruskal算法在考虑加入e之前先考虑了边f,之所以没加入f是因为f和之前加入的边形成圈,之前加入的边权值显然不超过w(f) (因为加边是从小到大的顺序加入的),所以之前加入的边权值一定小于w(e)。而根据e的定义,K中权值小于w(e)的边都在T中,这说明T中的边会和f构成圈,矛盾。
所以只能w(f) = w(e)。T’仍然是最小生成树,而T’和K相同的边多了一条。
这样下去有限步之后,最终可以把T变为K,从而K也是最小生成树。
最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个算法,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。
输出示例
输入
第1行:2个数N,M中间用空格分隔,N为点的数量,M为边的数量。(2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000)第2 - M + 1行:每行3个数S E W,分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 <= S, E <= N,1 <= W <= 10000)
输出
输出最小生成树的所有边的权值之和。
输入示例
9 141 2 42 3 83 4 74 5 95 6 106 7 27 8 18 9 72 8 113 9 27 9 63 6 44 6 141 8 8
输出示例
37
请选取你熟悉的语言,并在下面的代码框中完成你的程序,注意数据范围,最终结果会造成Int32溢出,这样会输出错误的答案。
不同语言如何处理输入输出,请查看下面的语言说明。
使用并查集和贪心思想。适合稀疏图。Kruskal算法实现:
java 代码
import java.util.Arrays;import java.util.Comparator;import java.util.Scanner;public class Kruskal {/** * @param args */static int parent[]=new int[10];static int n,m;class Edge{int u,v,w;}class cmp implements Comparator<Edge>{@Overridepublic int compare(Edge A, Edge B) {// TODO Auto-generated method stubif(A.w<B.w){return -1;}else if(A.w>B.w){return 1;}else{return 0;}}}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner scan=new Scanner(System.in);Kruskal kr=new Kruskal();while(scan.hasNext()){n=scan.nextInt();m=scan.nextInt();Edge[] edge=new Edge[m];for(int i=0;i<m;i++){Edge e=kr.new Edge();e.u=scan.nextInt();e.v=scan.nextInt();e.w=scan.nextInt();edge[i]=e;} Arrays.sort(edge,0,m,kr.new cmp());kruskal(edge); }}private static void kruskal(Edge[] edge) {// TODO Auto-generated method stub int sumWeight = 0; int num = 0; int u,v; UFset(); for(int i=0;i<m;i++){ u=edge[i].u; v=edge[i].v; //查找u v是否在一个集合里 if(find(u)!=find(v)){ sumWeight += edge[i].w; num ++; merge(u, v); //把这两个边加入一个集合。 } } System.out.println(sumWeight);}private static void merge(int a, int b) {// TODO Auto-generated method stubint r1 = find(a); int r2 = find(b); int tmp = parent[r1] + parent[r2]; //两个集合节点数的和 if(parent[r1] > parent[r2]){ parent[r1] = r2; parent[r2] = tmp; }else{ parent[r2] = r1; parent[r1] = tmp; } }private static int find(int i) {// TODO Auto-generated method stubint temp;//查找位置for(temp = i; parent[temp] >= 0; temp = parent[temp]); //压缩路径 while(temp != i){ int t = parent[i]; parent[i] = temp; i = t; } return temp; }private static void UFset() {// TODO Auto-generated method stub for(int i=1; i<=n; i++) parent[i] = -1; }}
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