机器学习(1)--logistic回归和softmax回归

来源：互联网发布：监控员工上网的软件编辑：程序博客网时间：2024/05/17 23:17

logistic回归和softmax回归放在一起总结一下，其实softmax就是logistic的推广，logistic一般用于二分类，而softmax是多分类。

logistic回归虽然也是叫回归，其实本身是用来分类的，logistic可以被看成是一种概率的估计，类似于线性回归的归一化，将输出值映射为（0,1），输入值大于0.5被分为1类，小于0.5被分为0类。

softmax回归与多个二分类的区别

如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 $k = 4$ 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 $k$ 设为5。）

如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？

在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

写博客一方面是自己总结知识，另一方面也是写出来方便以后自己复习，所以不拘泥于博客的版面，尤其是这种公式如此之多的编辑，我就自己写在本子上，上传咯。

softmax：用于多个类别的情况

在Softmax回归中将 $\textstyle x$ 分类为类别 $\textstyle j$ 的概率为：

$p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} }$ .

对于 $\textstyle J(\theta)$ 的最小化问题，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：

$\begin{align}\nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] }\end{align}$

将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 $\textstyle J(\theta)$ 。例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: $\textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ ( $\textstyle j=1,\ldots,k$ ）。

有一点需要注意的是，按上述方法用softmax求得的参数并不是唯一的，因为，对每一个参数来说，若都减去一个相同的值，依然是上述的代价函数的值。证明如下：

这表明了softmax回归中的参数是“冗余”的。更正式一点来说，我们的softmax模型被过度参数化了，这意味着对于任何我们用来与数据相拟合的估计值，都会存在多组参数集，它们能够生成完全相同的估值函数hθ将输入x映射到预测值。因此使J(θ)最小化的解不是唯一的。而Hessian矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致Softmax的牛顿法实现版本出现数值计算的问题。

为了解决这个问题，加入一个权重衰减项到代价函数中：

有了这个权重衰减项以后(对于任意的λ>0)，代价函数就变成了严格的凸函数而且hession矩阵就不会不可逆了。

此时的偏导数：

...............................................................................................................................................................................\

贴图：简要叙述logistic与softmax关系，其实上面已经写了代价函数的类似表达。还有，就是呈现softmax的由来。。。

.........................................................................................................logistic与softmax的推导涉及到知识是指数分布族

ok，原理公式差不多就这些

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0 0