任意竞赛图都有哈密顿path(A Tournament has a Hamiltonian path)

Prop. 设G是竞赛图，即完全图的一个定向。则G必有哈密顿path.

证明：
反证。设n=|V|， 且P={1,2,3,…,k}(k<n)是G中的最长path.
则对任取的a∉P, 我们有下图

如果a和1之间的边为(a,1)，那么把 a 添加进P的开头就是一条比P更长的path，这样矛盾。同理于a,k之间的边。因此我们可以假设图中所示的情形。
我们再设a与2,3,…,k−1之间的边，从左往右数，第一条以a为起点的边，其终点为i，则2≤i≤k−1. 由于i可能不存在(即边的情况是(2,a),(3,a),…,(k−1,a))，但我们至少有(a,k)∈E. 所以不妨设2≤i≤k， 则这样的i必然存在。那么新的path就是P′=(1,2,…,i−1,a,i,,…,k)，如图红色边所示

这样与假设矛盾。因此所以必然存在哈密顿path.
证毕。

RK: 注意，这个证明也表明了找到这个哈密顿path的方法或者说算法。即我们对现有的path不断添加点，如果新的点指向头，则把它添加为第一个点；如果新的点被尾指向，则作为最后一个点。如果都不是，则是证明里的情况，如此添加即生成新的path，不断迭代直到得到最后的哈密顿path.