四元数

          两个向量之间的内积和外积是高等代 数和解析几何中必须要讲的内容，内积在有的课本上也被称为点积， 外积则常常被称为是叉积。在教学中，我们 发现学生很容易理解两个向量的内积。这 是因为内积定义为两个向量的对应坐标相 乘再相加，得到的结果是一个实数，比较自 然。而两个向量的外积却不再是一个实数 了，而是一个和这两个向量都垂直的向量. 这样子进行教学，学生会觉得内积和外积 差别很大，内积是数，而外积是向量，二者 不具可比性。而单纯从名字来看，“内”和 “外” 是对称的，是可对比的。那么应该怎样 去教学，才能让学生真正的理解内积和外 积的这种“对称” 呢？ 我们发现利用四元数代数来讲解内积 和外积是一种很好的教学法。我们用R表示 实数集合,C表示复数集合， H表示四元数 集合。由 [2]可知任何一个四元数都可以写成 α=d+ai+bj+ck的形式，其中a,b,c,d都是 实数。 d叫做α的实部， ai+bj+ck叫做α的虚 部。α的共轭定义为d-ai-bj-ck。 则四元数集合H=R+Ri+Rj+Rk， H中的 运算法则是哈密顿给出的 i2=j2=k2=ijk=-1。 从哈密顿的公式可以推出 ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j。 三维空间中的一个向量都可以写成α =ai+bj+ck的形式，其中a,b,c分别是x,y,z 轴的坐标， I,j,I分别表示x,y,z轴。 我们定义两个向量α,β的内积为, α·β=-(βα+αβ)/2 类似的，我们还可以定义两个向量的 外积为， α × β =-(βα-αβ)/2

       根据定义易得α×β=-β×α 我们不难通过检查坐标的方式来验证 上面关于内积和外积的定义和参考文献[1] 中的一致。通过这种方式来定义内积和外 积，学生可以看出内积和外积的差别只不 过是βα+αβ和βα-αβ，很容易接受， 也很容易理解。 下面我们来看看怎样利用四元数来证 明关于内积外积的一些经典的定理，公式。 定理1:[拉格朗日公式]。对任意的向量 α ,β ,γ ,有 α×(β×γ)=(α·γ)β-(α·β)γ 证明：注意到一个实数乘以一个向量， 跟这个向量乘以这个实数是相等的,所以 右边=(β(α·γ)-γ(α·β)+(α·γ) β-(α·β)γ)/2 =-(βαγ+βγα-γαβ-γβα+ αγβ+γαβ-αβγ-βαγ)/4 =-(βγα-γβα+αγβ-αβγ)/4 =(1/2)(α((1/2)(βγ-γβ))+((1/2) (βγ-γβ))α) =左边,证毕。 这个公式在[1]中是通过分别比较等式 两边的x,y,z轴的坐标来完成的。我们这个 证明的好处是不涉及坐标,非常简单。 定理2:[雅可比等式]。 α×(β×γ)+β×(γ×α)+γ×(α ×β)=0 证明：这就是要证明(αβγ-αγβ-β γα+γβα)+(βγα-βαγ-γαβ+α γβ)+(γαβ-γβα-αβγ+βαγ)=0 这总共有十二项,三个向量的排列只 有六种，再加上正负号，正好是十二项,所 以两两抵消掉了，正好是零,证毕。 如果记[x,y]=xy-yx,则上面的雅可比 等式就是 [α,[β,γ]]+[β,[γ,α]]+[γ,[α,β]]=0

       这就和[4]中李代数中的雅可比等式从 内容到形式完全一致了。 定理3:[混合积公式]。 α×β·γ=β×γ·α=γ×α·β 证明：验证是很容易的.我们这里只验 证第一个等式。 -4(α×β·γ-β×γ·α)=αβγβαγ+γαβ-γβα-βγα+γβααβγ+αγβ =-β(αγ+γα)+(αγ+γα)β =0证毕 定理4:[拉格朗日恒等式]。 对任意的四个向量α,β,γ,δ,有 (α×β)·(γ×δ)=(α·γ)(β·δ)(α·δ)(β·γ) 证明： (α×β)·(γ×δ)=α·β×(γ×δ) (混合积公式) =α·((β·δ)γ-(β·γ)δ)(拉格朗日 公式) =(α·γ)(β·δ)-(α·δ)(β·γ)证毕。 利用四元数来教内积和外积，最大的 好处是可以让学生体会到内积和外积不是 什么新的运算，而只不过是数的加减乘除 的复合运算。这和利用复数来讲解平面向 量是完全一致的