二维图形的矩阵变换（一）——基本概念

基本的二维变换可包括旋转、缩放、扭曲，和平移四种，

                    

而这些几何运算则可以转换为一些基本的矩阵运算：

    

这几个变换都是线性的，但平移运算不是线性的，不能通过2*2矩阵运算完成。若要将点 (2, 1)在 x 方向将其平移 3 个单位，在 y 方向将其平移 4 个单位。 可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。

    

综合这几种基本运算，数学家们将其统一为一个3*3矩阵，存储形式如下：

    

由于表示仿射变换的矩阵的第三列总是（0，0，1），在存储矩阵的时候，大多只存成一个2*3的数组。

 

变换的原点

二维变换的参考点是非常重要的，例如如下旋转的结果就大不相同：

        

当然，有一种特殊的变换除外。那就是平移变换，无论原点是什么其变换的结果都是没有变化的。

 

复合变换

复合变换的矩阵可通过将几个单独的变换矩阵相乘而得到，这就意味着任何仿射变换的序列均可存储于单个的 Matrix 对象中。

    

需要注意的是，复合变换是有顺序的，一般说来，先旋转、再缩放、然后平移，与先缩放、再旋转、然后平移是不同的。

 

逆矩阵

可以根据一定的运算求出某个矩阵的逆矩阵，这个矩阵可以用来求出新的坐标点在原坐标系的位置。但需要注意的是，并非所有矩阵都是可逆的，可逆矩阵要求是非奇异矩阵。

 

在线预览

微软有一个几何变换的在线预览的页面，可以非常直观的帮助我们理解这些变换，感兴趣的朋友不妨试试。

http://ie.microsoft.com/testdrive/Graphics/hands-on-css3/hands-on_2d-transforms.htm

 

小结

矩阵运算其实是非常基础的数学知识，在图形学中应用得还是非常广泛的，但大学学的时候往往不知道干嘛用，现在用的时候却又忘了啥原理了。本文这里只是介绍了一些矩阵运算的基本概念，具体详细的内容可以参考下下面的这些参考资料。下一篇文章再简单的介绍一下矩阵变换的实际使用。

 

参考资料：

1. http://msdn.microsoft.com/zh-cn/library/8667dchf(v=vs.110).aspx
2. http://msdn.microsoft.com/zh-cn/library/ms750596(v=vs.110).aspx
3. http://www.zhangxinxu.com/wordpress/2012/06/css3-transform-matrix-%E7%9F%A9%E9%98%B5/
4. http://netclass.csu.edu.cn/NCourse/hep089/Chapter6/CG_Txt_6_011.htm
5. http://www.zhangxinxu.com/wordpress/2012/06/css3-transform-matrix-%E7%9F%A9%E9%98%B5/