NPC问题证明

STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses (each a disjunction of literals) and an integer k, find a satisfying assignment in which at most k variables are true, if such an assignment exists. Prove that STINGY SAT is NP-complete.

STINGY SAT表示如下的问题：给定一组分句（每个分句都是对一系列词组做逻辑或操作）和整数。找到满足最多k个变量为真的赋值，如果赋值存在。证明STINGY SAT是NP完全问题。

证明：

设SAT一个有k个变量的实例f，(f,k)为STINGY SAT的一个实例，x为一组赋值

由于可以在多项式时间内验证x是否可以使(f,k)为真，所以STINGY SAT是NP问题

目标：SAT规约到STINGY SAT，即x是f的解当且仅当x是(f,k)的解

充分性：假设x是f的解，则至多有k个变量为真，x赋给(f,k)也为真，所以x是(f,k)的解

必要性：假设x是(f,k)的解，显然x也是f的解

所以STINGY SAT也是一个NPC问题