程序员面试算法概率那些事

PS：刷一遍经典的算法题， 让自己随时保持头脑"清醒"

算法题

1. 题目：输入一个单向链表，输出该链表中倒数第k个结点。链表的倒数第0个结点为链表的尾指针。

类似的试题：输入一个单向链表。如果该链表的结点数为奇数，输出中间的结点；如果链表结点数为偶数，输出中间两个结点前面的一个。

2. 输入一个整数数组，实现一个函数来调整该数组中数字的顺序，使得所有的奇数位于数组的前半部分，所有的偶数位于位于数组的后半部分，并保证奇数和奇数，偶数和偶数之间的相对位置不变

类似的简化题：  不要求 相对位置不变

3. 链表反转 。 时间复杂度O(n)

4.  二分查找算法

变形1： 给一个有N个互不相同的元素的已排序数组，返回小于或等于给定key的最大元素。 例如输入为 A = {-1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10}   key = 7,应该返回6

变形2：给一个有重复元素的已排序数组，找出给定的元素key出现的次数，时间复杂度要求为logN.

变形3：给一个有重复元素的已排序数组 思路就是分别找出key 第一次出现的位置和最后一次出现的位置

变形4：有一个已排序的数组（无相同元素）在未知的位置进行了旋转操作，找出在新数组中的最小元素所在的位置。

例如：原数组 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， 旋转后的数组可能是 {6,7,8,9,10, 1,2,3,4,5 }，也可能是 {8,9,10,1,2,3,4,5,6,7 }

概率题

1. 一根木棒，截成三截，组成三角形的概率是多少？
设第一段截x，第二段截y，第三段1-x-y。
考虑所有可能的截法。可能的截法中必须保证三条边都是正数且小于原来边长，则有0<x<1，0<y<1，0<1-x-y<1，画图可知，(x,y)必须在单位正方形的左下角的半个直角三角形里，面积为1/2。
然后考虑能形成三角形的截法。首先要满足刚才的三个条件0<x<1，0<y<1，0<1-x-y<1，然后必须符合三角形的边的要求，即两边之和大于第三边，x+y>1-x-y，x+1-x-y>y，y+1-x-y>x，化简即得
0<x<1/2，0<y<1/2，1/2<x+y<1
画图可知，此时(x,y)必须在边长为1/2的三角形的右上角的半个直角三角形里，面积为1/8。
于是最终概率为 (1/8)/(1/2) = 1/4。

2.  已知一随机发生器，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，现在要你构造一个发生器，使得它产生0和1的概率均为1/2。
考虑连续产生两个随机数，结果只有四种可能：00、01、10、11，其中产生01和产生10的概率是相等的，均为p*(1-p)，于是可以利用这个概率相等的特性等概率地产生01随机数。
比如把01映射为0,10映射为1。于是整个方案就是：
产生两个随机数，如果结果是00或11就丢弃重来，如果结果是01则产生0，结果是10则产生1。

类似的：

已知一随机发生器，产生的数字的分布不清楚，现在要你构造一个发生器，使得它产生0和1的概率均为1/2。
思路类似，考虑连续产生两个随机数a、b，结果有三种情况a==b，a>b，a<b，其中由于a和b的对称性，a>b和a<b出现的概率是相等的，于是可以利用这个概率相等的特性等概率地产生01随机数。

类似的：

已知一随机发生器，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，构造一个发生器，使得它构造1、2、3的概率均为1/3；…。更一般地，构造一个发生器，使得它构造1、2、3、…n的概率均为1/n。
此时我们已经知道，要从n个数中等概率地产生一个随机数，关键是要找到n个或更多个出现概率相等的事件，然后我们重复随机地产生事件，如果是跟这n个事件不同的事件直接忽略，直到产生这n个事件中的一个，然后就产生跟这个事件匹配的随机数。由于n个事件发生的概率相等，于是产生的随机数的概率也是相等的。
考虑连续产生x个随机数，结果应该是x个0跟1的组合，为了使某些结果出现的概率相等，我们应该要让这个结果中0和1出现的次数相等，即各占一半。于是x的长度必须是偶数的，为了方便，考虑连续产生2x个随机数。每个0跟1各出现一半的结果可以赋予1到n的某个数，为了能够表示这n个数，需要0跟1各出现一半的总结果数大于等于n，即
C(2*x, x) >= n
解出最小的x即为效率最高的x。
然后把前n个0和1个出现一半的结果分别赋予1到n的值。随机时连续产生2*x个数，如果不是这n个结果中的一个则重新随机，如果是的话则产生对应的值作为随机结果。

3. 已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，怎样利用这个rand7()构造rand10()，随机1~10。
产生随机数的主要原则是每个数出现的概率是相等的，如果可以得到一组等概率出现的数字，那么就可以从中找到映射为1~10的方法。
rand7()返回1~7的自然数，构造新的函数 (rand7()-1)*7 + rand7()，这个函数会随机产生1~49的自然数。原因是1~49中的每个数只有唯一的第一个rand7()的值和第二个rand7()的值表示，于是它们出现的概率是相等。
但是这里的数字太多，可以丢弃41~49的数字，把1~40的数字分成10组，每组映射成1~10中的一个，于是可以得到随机的结果。
具体方法是，利用(rand7()-1)*7 + rand7()产生随机数x，如果大于40则继续随机直到小于等于40为止，如果小于等于40，则产生的随机数为(x-1)/4+1。

类似的：

已知有个randM()的函数，返回1到M随机自然数，怎样利用这个randM()构造randN()，随机1~N。
上题的扩展。
当N<=M时可以直接得到。
当N>M时，类似构造(randM()-1)*M + randM()，可以产生1~M^2（即randM^2），可以在M^2中选出N个构造1~N的映射。
如果M^2还是没有N大，则可以对于randM^2继续构造，直到成功为止。

4. 

一个三角形， 三个端点上有三只蚂蚁，蚂蚁可以绕任意边走，问蚂蚁不相撞的概率是多少?
1.每个蚂蚁在方向的选择上有且只有2种可能，共有3只蚂蚁，所以共有2的3次方种可能
2.不相撞有有2种可能，即全为顺时针方向或全为逆时针方向。
不相撞概率=不相撞/全部=2/8

5.

甲乙两个人答对一道题的概率分别为90%和80%，对于一道判断题，他们都选择了“正确”，问这道题正确的概率

类似的 条件概率

6.  找等概率事件

1） 题目：已知一随机发生器A，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，现在要你构造一个发生器B， 使得它构造0和1的概率均为1/2。

原始的随机数生成器，生成0 的概率为p,生成1的概率为1-p,那么怎么构造才能使得生成0和1的概率相等呢。或者说有两个独立的事件的概率是相等呢？
这样来做一下，让该随机数生成器生成两个数，那么序列是00,01,10,11概率分别为 p*p,p(1-p),(1-p)p,(1-p)*(1-p)
很明显，这四种情况中存在两个独立的事件概率是相等。也就是01和10，那么我把01看成是0,10看成是1，那么他们输出的概率均为p(1-p)，其他的情况舍弃。这样就得到了0和1均等生成的随机器了。

2） 如果有该随机发生器A，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，输入一个指定的N，如何以以1/N的概率随机产生1-N？

3）已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，让利用这个rand7()构造rand10() 随机1~10

4）如果能够得到一组等概率的数，不管是什么数，只要等概率而且个数大于10，那么问题就可以解决了。
发现 (rand7() - 1) * 7 + rand7()，可以等概率的生成1到49。
呵呵，这不就得了，只要把11-49砍掉就可以了。不过这样的效率比较低。可以砍掉41-49，然后在把1-40映射到1-10，那么问题也就解决了。

5）给定能随机生成整数1到5的函数，写出能随机生成整数1到7的函数

6）

7. 

有一苹果，两个人抛硬币来决定谁吃这个苹果，先抛到正面者吃。问先抛者吃到苹果的概率是多少？

1/2 + 1/8 + 1/32+ ……  最后的结果就是 P = 2/3

8.

有一对夫妇，先后生了两个孩子，其中一个孩子是女孩，问另一个孩子是男孩的概率是多大？

男女，男男，女男，女女

9.  求π

方法1. 非 概率算法，用级数来做的：π = 4 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... )

方法2： 画一个正方形，在正方形的内部内切一个圆形，随机地往这个区域扔东西(比如小沙子)，最后用：
圆的面积/正方形的面积 = 圆里面的沙粒数量/正方形里的沙粒数量(当然包括圆里面的)
这种方式也可以求得π的比较精确的结果。

设 正方形边长=2r, s（正方形）=4r*r; 圆面积= πr*r