Unity Shader数学笔记

1、透视矩阵

推导过程
其中 z 在光栅化过程中不按线性插值，而是按 1/z 做线性插值，证明如下：

如图为 x−z 平面上一条与三角形的某一扫描线对应的线段，设直线方程为 ax+bz=c 且 c≠0
直线上的坐标为 <x,z> 的点在相机近平面的投影为 <p,−e>

通过三角形相似可得：p/x=−e/z

将其带入直线方程可得： (−ap/e+b)z=c

整理可得：1/z=−ap/ec+b/c  (1)

x1,z1,x2,z2为直线上的点，在相机近平面上的投影为 p1,p2，现设一点<x3,z3> 在近平面的投影为 p3, 因为近平面上的 x 坐标满足线性插值，可得：

p3=(1−t)p1+tp2,∀t∈[0,1]

带入 (1) 可得

1z3=(−ap1/ce+b/c)(1−t)+(−ap2/ce+b/c)t=1z1(1−t)+1z3t

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2、Viewport Transform

Viewport Transform在OpenGL管线中的位置如图，其过程如下：

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3、DepthBuffer
顶点的 z 值在进行透视变换后为

zclip=−zviewf+nf−n−2nff−n

经过齐次除法后NDC空间的

zndc=zclipwclip=f+nf−n+2nf(f−n)zview

由Viewport Transform可知DepthBuffer中的 zdepth=1/2⋅zndc+1/2
代入 zndc 可得：

zview=1f−nfnd−1n

取反后除以 f 即可映射到 [0,1] 中。

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4、Unity的内置数学函数

该函数将depth buffer中的深度映射到 [n,f] 中
其中

注释中的链接作者表示，他也不确定，反正能用 - -!，下面的推导有时间再去试试看。

其中LinearEyeDepth函数就是实现了zview=1f−nfnd−1n然后取反的操作

Linear01Depth函数则是多除了一个 f 将其映射到 [0,1]

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5、留着以后慢慢记录