算法14讲——MST/Greedy

一、贪心算法

1. 一步一步扩大solution
2. 每一步从candidates中选择时，必须满足：
   
   • 可行性：必须满足问题要求
   • 局部最优：必须是这一步所有candidates中最好的选择
   • 不可撤销：这一步不可被后面的选择撤销

set greedy(set candidate) set S=Ø; while not solution(S) and candidate≠Ø select locally optimizing x from candidate; candidate=candidate‐{x}; if feasible(x) then S=S∪{x}; if solution(S) then return S else return (“no solution”) 

二、MST求解

1. Prim’s algorithm
   
   • Difficult selecting: “best local optimization means * no cycle and small weight under limitation. *
   • Easy checking: doing nothing

2. Kruskal’s algorithm

   • Easy selecting: smallest in primitive meaning
   • Difficult checking: no cycle

3. Minimum Spanning Tree Property（MST性质）
   在一个连通有权图中的生成树T有MST property 当且仅当对于任意一个非tree-edge边uv，T
   ∪{uv}包含一个环并且uv是其中权值最大的边。
   All the spanning trees having MST property have the same weight.

4. 在一个连通有权图G=(V,E,W)中，一棵生成树T是最小生成树当且仅当T拥有MST property。

5. 证明Prim’s 算法的正确性
6. Prim’s算法
   Main Procedure

primMST(G,n)     Initialize the priority queue pq as empty;     Select vertex s to start the tree;     Set its candidate edge to (‐1,s,0);     insert(pq,s,0);     while (pq is not empty)         v=getMin(pq); deleteMin(pq);         add the candidate edge of v to the tree;         updateFringe(pq,G,v);     return 

* ADT operation executions: *
- insert, getMin, deleteMin: n times
- decreaseKey: m times

desreaseKey(p,m)操作降低在位置p处的值，降值幅度为正m，不过这种方式很可能破坏堆序性，因此需要通过上滤操作进行调整。这种方式能够动态的提高某个任务的优先级，使其在能够优先开始。

getMin(pq)为边集中拥有最小关键码的顶点

Updating the Queue

updateFringe(pq,G,v)     For all vertices w adjcent to v //2m loops         newWgt=w(v,w);         if w.status is unseen then             Set its candidate edge to (v,w,newWgt);             insert(pq,w,newWgt)         else             if newWgt<getPriorty(pq,w)                 Revise its candidate edge to (v,w,newWgt);                 decreaseKey(pq,w,newWgt)     Return 

复杂度分析：应用ADT优先级队列（图G n个顶点，m条边 ）

• insert: n;
• getMin: n ;
• deleteMin: n ;
• decreaseKey: m (appears in 2m loops, but execute at most m)

T(n,m)=O(n∗T(getMin)+n∗T(deleteMin+insert)+m∗T(decreaseKey))
Implementing priority queue using array, we can get θ(n2+m)

另外附加一个连接：优先级队列详解