CRC校验原理

基本概念

CRC即循环校验码是数据通信中最常用的一种差错校验码。信息字段的长度和校验码的长度是任意的。

基本原理

在K位信息码的后面加上R位校验码，整个长度是N位， N=K+R。给定一个（N,R）码，可以证明存在一个最高次幂为R的多项式G(x)，根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。

校验码生成

生成过程：假设发送的信息用C(X)信息码表示，将C（X）左移R位得到多项式C（X）乘X的R次，空出来的R位用校验码来填补。再用得到的多项式C（X）*X的R次除以生成多项式G（X），得到的余数就是校验码。

数学关系

多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。

多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。
如生成多项式为G(x)=x^4+x^3+x+1， 可转换为二进制数码11011。
而发送信息位 1111，可转换为信息多项式为C(x)=x^3+x^2+x+1。

CRC校验码位数
CRC校验码位数 = 生成多项式位数 - 1。注意有些生成多项式的简记式中将生成多项式的最高位1省略了。

生成步骤

1、将x的最高次幂为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。
2、将信息码左移R位，相当于对应的信息多项式C(x)*x的R次方。
3、用生成多项式（二进制数）对信息码做除，得到R位的余数。
4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。
例：
生成多项式X^4假设使用的生成多项式是G(x)=x^3+x+1。原始报文为1010
1、将生成多项式G(x)=x^3+x+1转换成对应的二进制除数1011。
2、生成多项式有4位（R+1） (注意：4位的生成多项式计算所得的校验码为3位，R为校验码位数)，要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010 000
3、用生成多项式对应的二进制数对左移3位后的原始报文进行模2除（高位对齐），相当于按位异或：
1 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1

---

0 0 0 1 0 0 0
_ _ _ _1 0 1 1

---

_ _＿＿０１１
得到余数为０１１，校验码为１０１００１１
用上面例子进行校验：
１０１００１１
１１
－－－
－１１００１１
　１１
＿＿＿　
　　　　　１１
　　　　　１１
＿＿＿
得到结果无余数，说明校验成功
下表中列出了一些见于标准的CRC资料：

生成多项式的最高幂次项系数是固定的1，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，如04C11DB7实际上是104C11DB7。