BZOJ 翻硬币-（异或和）

3517: 翻硬币

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Description

有一个n行n列的棋盘，每个格子上都有一个硬币，且n为偶数。每个硬币要么是正面朝上，要么是反面朝上。每次操作你可以选定一个格子(x,y)，然后将第x行和第y列的所有硬币都翻面。求将所有硬币都变成同一个面最少需要的操作数。

Input

第一行包含一个正整数n。

接下来n行，每行包含一个长度为n的01字符串，表示棋盘上硬币的状态。

Output

仅包含一行，为最少需要的操作数。

Sample Input

4
0101
1000
0010
0101

Sample Output

2

HINT

【样例说明】

对(2,3)和(3,1)进行操作，最后全变成1。

【数据规模】

对于100%的数据，n ≤ 1,000。

 

Source

记x(i,j)表示(i,j)这一个翻不翻，同时记a(i,j)表示这一个的初始情况。简单推理可以发现全翻成0和全翻成1的方法刚好是互补的，换句话说只要求除了翻成0的步数，翻成1的步数也就可以求出来了。下面求翻成0的步数。

       考虑(i,j)，对它有影响的是纵坐标为j的x(u,j)和横坐标为i的x(i,v)，根据它最后为0可以得到一个方程：

       x(1,j)^x(2,j)^...^x(n,j)^x(i,1)^...^x(i,j-1)^x(i,j+1)^...^x(i,n)^a(i,j)=0，注意左边x(i,j)只能出现一次，将a(i,j)移项得到：x(1,j)^x(2,j)^...^x(n,j)^x(i,1)^...^x(i,j-1)^x(i,j+1)^...^x(i,n)=a(i,j)，记为等式f(i,j)。显然有n^2个变量和n^2个方程，所以其有唯一解。下面来解这个方程。

      将f(i,j)与所有横坐标=i的和纵坐标=j的f()抑或，推理一下可以发现，由于n是偶数，左边只剩下了x(i,j)，右边则是所有横坐标=i和纵坐标=j的a()的抑或值。所以就可以把x(i,j)求出来了。

大神的链接：没想到的证明

#include<stack>#include<vector>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>using namespace std;#define maxn 1005int a[maxn][maxn],x[maxn],y[maxn];int  main(void){int i,j,ans=0,n;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){scanf("%1d",&a[i][j]);x[i]^=a[i][j];y[j]^=a[i][j];}for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)ans+=a[i][j]^x[i]^y[j];printf("%d\n",min(ans,n*n-ans));return 0;}