Understanding Quaternions 中文翻译《理解四元数》
来源:互联网 发布:网络小游戏在线玩 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 14:25
Tags: math, quaternion
原文地址:http://www.3dgep.com/understanding-quaternions/
正文
在这篇文章中我会尝试用简单的方式去解释四元数的概念,即用可视化的方式解释四元数以及几种对四元数的操作。我将把矩阵、欧拉角和四元数放在一起比较,并解释什么时候该用四元数、什么时候该用欧拉角或矩阵。
内容结构
- 介绍
- 复数
- 复数的加减
- 复数的系数缩放
- 复数的积
- 复数的平方
- 共轭复数
- 复数的绝对值
- 两复数的商
- i的幂
- 复数平面
- 旋转数(Rotors)
- 四元数
- 作为有序数的四元数
- 四元数的加减
- 四元数的积
- 实四元数
- 四元数的系数缩放
- 纯四元数
- 四元数的加法形式
- 单位四元数
- 四元数的二元形式
- 共轭四元数
- 四元数范数
- 四元数规范化
- 四元数的逆
- 四元数的点积
- 旋转
- 四元数插值
- SLERP
- 四元数的差
- 四元数的幂运算
- 2个四元数的分数差
- 注意事项
- SQUARD
- SLERP
- 总结
- 下载Demo
介绍
在计算机图形学中,我们使用转换矩阵来表示空间中的一个位置以及朝向。一个转换矩阵还可以表示对一个目标的缩放(scale)或错切(shear)等。 我们可以把转换矩阵想象成一个空间,当你用这个矩阵乘以向量、点(甚至矩阵)后, 你就把向量、点、矩阵转换进这个空间了。
在这篇文章中,我不会讨论转换矩阵的细节。你可以查看我前面的文章,文章中描述了转换矩阵的细节。
在这篇文章中,我想要讨论一个可替代的方案,即用四元数来描述空间里的物体的朝向。
四元数的概念是由爱尔兰数学家Sir William Rowan Hamilton发明的(1843年,都柏林)。Hamilton当时正和他的妻子前往爱尔兰皇家研究院,当他从Brougham桥通过皇家运河时,他领悟到了一个激动人心的东西,并立刻把它刻在桥的一个石头上:
William Rowan Hamilton Plaque on Broome Bridge on the Royal Canal commemorating his discovery of the fundamental formula for quaternion multiplication.
复数
在我们能够完全理解四元数之前,我们必须先知道四元数是怎么来的。四元数的根源其实是复数。
除了知名的数集(自然数、整数、实数、分数)之外,复数系统引入了一个新的数集——虚数。虚数的发明是为了解决一些特定的无解的方程,例如:
,这当然是不行的,因为任意实数的平方都是非负数。
一般而言,数学家是不能忍受一个等式是无解的。于是,一个新的术语被发明了,它就是虚数,一个可以解决上面这个等式的数。
虚数有这样的形式:
不要为这个术语较真,因为逻辑上这个数是不存在的。只要知道i是一个平方等于-1的东西即可。
虚数的集合可以用
来表示。
复数的集合
是一个实数和一个虚数的和,形式如下:
可以认为所有实数都是b=0的复数、所有虚数都是a=0的复数。
复数的加减
加法:
减法:
复数的系数缩放
复数的积
复数的平方
共轭复数
复数的共轭就是指把复数的虚数部分变成负的。共轭复数的符号是
。
复数和它的共轭复数的乘积是:
复数的绝对值
我们使用共轭复数来计算复数的绝对值:
两复数的商
i的幂
如果
的n次幂也应该存在:
如果按照这个顺序写下去,会出现这样一个模式:(1,\mathbf i,-1,-\mathbf i,1,...)
一个类似的模式也出现在递增的负数幂:
你可能已经在数学里头见过类似的模式,但是是以(x,y,-x,-y,x,...)的形式,这是在2D笛卡尔平面对一个点逆时针旋转90度时生成的;(x,-y,-x,y,x,...)则是在2D笛卡尔平面对一个点顺时针旋转90度时生成的。
复数平面
我们也能够把复数映射到一个2D网格平面——复数平面,只需要把实数映射到横轴、虚数映射到纵轴。
如前面的序列所示,我们可以认为,对一个复数乘以i,这个复数就在复数平面上旋转了90度。
让我们看看这是不是真的。我们随机地在复数平面上取一个点:
p乘以i后得到q:
q乘以i后得到r:
r乘以i后得到s:
s乘以i后得到t:
t刚好是开始的p。如果我们把这些复数放到复数平面上,就得到下面的图:
我们也可以按顺时针方向旋转,只需要把上面的乘数i改成-i。
旋转数(Rotors)
我们也可以在复数平面上进行任意角度的旋转,只需要定义下面这个复数:
任意的复数乘以q:
也可以写成矩阵的形式:
这也是一个在复数平面绕原点逆时针旋转任意点的方法。(译注:这句话应该是在说旋转矩阵)
四元数
了解了复数系统和复数平面后,我们可以额外增加2个虚数到我们的复数系统,从而把这些概念拓展到3维空间。
四元数的一般形式:
上面的公式是根据Hamilton的著名的表达式得到的:
以及:
你可能已经注意到了,i、j、k之间的关系非常像笛卡尔坐标系下单位向量的叉积规则:
Hamilton自己也发现i、j、k虚数可以被用来表达3个笛卡尔坐标系单位向量i、j、k,并且仍然保持有虚数的性质,也即
。
(\mathbf i \mathbf j, \mathbf j \mathbf k, \mathbf k \mathbf i这几个性质的可视化)
上图展示了如何用i、j、k作为笛卡尔坐标系的单位向量。
作为有序数的四元数
我们可以用有序对的形式,来表示四元数:
其中的v,也可以用它各自独立的3个分量表示:
使用这种表示法,我们可以更容易地展示四元数和复数之间的相似性。
四元数的加减
和复数类似,四元数也可以被加减:
四元数的积
我们也可以表示四元数的乘积:
可以看到,四元数的乘积依然还是一个四元数。如果我们把虚数
替换成有序对:
以及还有[1,0] = 1,将它们代入前面的表达式,就得到了:
再把这个表达式扩展成多个有序对的和:
如果把后3个四元数相加,并提取公共部分,就可以把等式改写成:
这个等式是2个有序对的和。第1个有序对是一个实四元数,第2个是一个纯四元数。这两个四元数也可以合并成一个:
如果把下面的表达式代入上面的等式:
(译注:注意,第三条和第四条并不是四元数的点积和叉积,而是向量的点积和叉积)
我们就得到了:
这就是四元数乘积的一般式。
实四元数
一个实四元数是一个虚部向量为零向量的四元数:
两个实四元数的乘积是另一个实四元数:
这和2个虚部为0的复数的乘积几乎一样:
四元数的系数缩放
我们也可以用一个系数(实数)去乘四元数:
我们可以用实四元数与普通四元数的乘积,来确认这个等式是否正确:
纯四元数
和实四元数相似,Hamilton也定义了纯四元数。纯四元数是s=0的四元数:
也可以写成下面的形式:
然后是2个纯四元数的乘积:
四元数的加法形式
我们可以把四元数写成实四元数和纯四元数的和:
单位四元数
给定任意的向量v,我们可以把这个向量写成一个系数和一个单位方向向量的乘积:
将这个定义和纯四元数的定义结合,就得到了:
然后,我们可以定义单位四元数了,它是一个s=0、
为单位向量的四元数:
四元数的二元形式
我们现在可以把单位四元数的定义和四元数的加法形式结合到一起,就创造了一种新的四元数的表示法,这种表示法和复数的表示法形似:
这就给了我们一种和复数非常相似的四元数表示法:
共轭四元数
共轭四元数的计算,就是将四元数的虚向量取反:
四元数和它的共轭四元数的乘积:
四元数范数
回忆下复数范数的定义:
类似的,四元数的范数可以这样定义:
这也让我们可以这样表达四元数范数:
四元数规范化
利用四元数范数的定义,就可以对四元数进行规范化。要让一个四元数规范化,只需要让这个四元数去除以它的范数:
举一个例子,让我们规范化下面这个四元数:
第一步,先计算q的范数:
然后,q除以|q|:
四元数的逆
四元数的逆用
表示。要计算四元数的逆,需要用四元数的共轭四元数去除以四元数的范数的平方:
为了证明这个式子,我们先根据逆的定义,有:
两边都左乘共轭四元数
:
将上文中的
代入这个式子,得到:
对于单位四元数,它的范数是1,所以可以写成:
四元数的点积
和向量的点积相似,我们也可以计算2个四元数的点积,只需要将各个对应的系数相乘,然后相加:
我们也可以利用四元数点积,来计算四元数之间的角度差:
对于单位四元数,我们可以简化上面的等式:
旋转
前面我们定义了一个特殊的复数:旋转数。它是用来旋转2D复数平面的点的:
根据四元数和复数的相似性,应该有可能设计一个可以旋转3D空间的点的四元数:
让我们测试一下这个理论是否可靠,方法就是计算四元数q和向量p的积。第一步,我们把p写成纯四元数的形式:
以及单位四元数q:
从而:
我们可以看到结果是一个同时有系数、有虚向量的四元数。
让我们先考虑特殊的情形:
。所以上面的四元数就变成了纯四元数:
这时候,要使
:
现在,让我们找一个例子来测试上面的公式。譬如绕z轴(就是k轴)旋转45度,那么我们的四元数q就变成:
然后,选一个特殊的p,并且p要和k轴正交,譬如把p放到i轴上,也就是:
好了,现在计算下qp:
结果是一个绕了k轴转了45度的纯四元数。我们可以确认这个四元数的向量部分的长度是:
这正是我们所期望的!
我们可以用图像展示旋转过程:
现在,让我们考虑更一般化的四元数,即和p不正交的四元数。现在让我们把p的向量部分偏移45度:
然后算qp:
代入我们设定的
,得到:
)
我们可以用图像展示旋转过程:
严格来说,这样子在3维空间中表示
p′
是不正确的。因为它其实是一个4维的向量!为了简单起见,我只将这个四元数的向量部分显示出来。
然而,还有一线生机。Hamilton发现(但没有正式宣布),如果对qp右乘q的逆,出来的结果是一个纯四元数,并且四元数向量部分的范数可以保持不变。让我们试试应用在我们的例子里。
首先计算:
(译注:这里
是因为q是单位四元数)
再代入
,得到:
现在,把前面算出来的qp再次拿出来:
这下是纯四元数了,并且它的范数是:
这和原始的p的范数一致。
下面的图像展示了旋转结果:
所以我们可以看到,这个结果是一个纯四元数,并且原四元数的向量的范数也保持住了。但是还有一个问题:向量被旋转了90度而不是45度。这刚好是我们需要的度数的两倍!为了正确地让一个向量绕某个轴向量旋转某个角度,我们必须以目标角度的一半来计算。因此,我们构造了下面的四元数:
这就是旋转四元数的一般形式!
四元数插值
在计算机图形学中使用四元数,其中一个重要原因是四元数非常适合用来表示空间中的旋转。四元数解决了其他3维空间旋转算法会遇到的恼人的问题,比如使用欧拉角来表示旋转操作时会遇到的万向节锁问题(Gimbal lock)。
使用四元数,我们可以定义好几种方案来表示3维空间的转动插值。第一种是SLERP,它被用来把一个点(物体)从一个朝向平滑地插值到另一个朝向。第二个是SLERP的扩展版本,被称为SQAD,它被用来处理用一系列朝向定义得到的一条路径的插值。
SLERP
SLERP代表Spherical Linear Int*erp*olation。SLERP可以在2个朝向之间平滑地插值。
第一个朝向设为
。
标准的线性插值公式是(译注:这个公式是笛卡尔坐标系下的,不是指四元数):
应用这个等式的一般步骤是:
- 计算
p1、p2
- 之间的差。
- 根据参数t,计算两个点的差的小数值(因为0<=t<=1)
- 把第二步的值加上原始点的值,算出结果
我们可以把这个基础公式,套用到2个用四元数表示的朝向的插值上。
四元数的差
根据上面的公式的第一步,我们必须先计算
的差。对于四元数来说,这等价于计算2个四元数的差(译注:不是角度差):
(译注:由
推出 )
四元数的幂运算
接下来的目标是干掉上面四元数的差的分数部分,方法是计算四元数的t次幂(就是上面的那个插值参数t,区间是[0,1])。
四元数的幂运算的一般化公式是:
其中,(纯)四元数的exp函数的公式是:
(纯)四元数的对数公式是:
(译注:上述的2次公式推导,其实省略了很多证明过程。具体可以参考:http://bpeers.com/blog/?itemid=861,http://bpeers.com/blog/?itemid=863,http://bpeers.com/blog/?itemid=866,http://bpeers.com/blog/?itemid=1001 )
对于t = 0,我们有:
而对于t = 1,有:
2个四元数的分数差
对于角旋转的插值计算,我们利用q1和q2的角度分数差来调整原始朝向q1:
这也就是使用四元数的球面线性插值的一般形式。然而,这不是slerp函数的常用形式。
我们可以应用类似的用于计算向量的球面插值公式,到四元数里。计算向量的球面插值的一般形式定义如下:
用图像表示如下:
这个公式可以原封不动地应用到四元数:
但这个公式需要提供角度
:
注意事项
这个方案有2个问题,必须在实现过程中加以考虑。
第一,如果四元数点积的结果是负值,那么后面的插值就会在4D球面上绕远路,这并不是我们想要的。为了解决这个问题,我们测试点积的结果,当结果是负值时,我们将2个四元数的其中一个取反,取反它的系数和向量部分,并不会改变它代表的朝向。而经过这一步操作,可以保证这个旋转走的是最短路径。
当
的线性插值。
SQUAD
正如一个SLERP可以被用来计算四元数之间的插值,一个SQUAD (Spherical and Quadrangle)可以被用来对旋转路径进行平滑插值。
如果我们有四元数序列:
然后我们再定义一个"辅助"四元数(
),它是一个中间控制点:
所以,沿着子曲线的朝向可以定义为:
在t时刻的朝向就是:
总结
除了特别难理解之外,相比矩阵或欧拉角,四元数在表示旋转这个事情上,拥有一些明显的优点。
SLERP和SQUAD,提供了一种使得在朝向之间可以平滑过渡的方法。
使用四元数来串联"旋转",要比使用矩阵快得多。
对于单位四元数,逆向旋转可以通过对向量部分取反来实现。而计算一个矩阵的逆矩阵是被认为比较慢的,如果这个矩阵未被标准正交化的话(标准正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵)。
从四元数转换到矩阵,要比从欧拉角转换到矩阵快一点。
四元数只需要4个数字(如果旋转四元数已经单位化了那么只需要3个,实数部分可以在运行时计算)来表示一个旋转,而矩阵需要至少9个数字。
尽管使用四元数有这么多优点,还是有缺点存在的。
因为浮点数的舍入运算错误,四元数可能会变无效。不过,这个错误可以通过重新单位化四元数来避免。
使用四元数最具威慑性的地方,还是四元数的理解难度大。我希望这个问题可以通过阅读本文来解决。
存在一些已经实现了四元数、并且是正确的的数学程序库。在我的个人经验里,我发现GLM(OpenGL Math Library)是一个优秀的数学库,它的四元数的实现极其不错。如果你对在你的程序中使用四元数感兴趣,那么我会推荐你使用这个数学库。
下载Demo
我实现了一个小demo来演示一个四元数如何被用来旋转一个3维物体。这个demo是用Unity3.5.2实现的,你可以免费下载它和阅读它的脚本。zip文件也包含了一个Windows版的Unity程序。当然你可以自己构建一个Mac的版本。
Understanding Quaternions.zip
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