相关滤波、KCF、循环对角化
来源:互联网 发布:iphone6splus精仿淘宝 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 06:42
本文参考【目标跟踪】KCF高速跟踪详解
设训练样本集
此时目标函数表示为:
对w求偏导,得:
求w必须要求矩阵的逆,矩阵求逆是一个非常耗时的过程,因此,如果w的求解可以用一种计算复杂度低的方法来解决,那么整个算法的时间复杂度就会大大降低。
所以KCF的作者提出,利用循环矩阵对角化的性质和离散傅里叶变换和逆变换,来化简计算。
循环矩阵对角化及其性质在后面有简单介绍。
为化简计算,将输入X表示为循环矩阵的形式,则
根据循环矩阵求逆性质,可以把矩阵求逆转换为特征值求逆。
利用F的酉矩阵性质消元:
反用对角化性质
然后利用卷积性质得到:
由于
这样,线性回归系数ω就可以通过向量的傅里叶变换和对位乘法计算得到。
核回归训练提速
核回归方法的回归式为:
其中κ(z)表示测试样本z和所有训练样本的核函数,参数有闭式解:
K为所有训练样本的核相关矩阵:
设核相关矩阵的生成向量是k。推导和之前线性回归的套路非常类似:
利用循环矩阵卷积性质,可得:
这里k是核相关矩阵的第一行,表示原始生成向量
附:循环矩阵对角化
任意循环矩阵可以被傅里叶变换矩阵对角化。
离散傅里叶矩阵F
当K(矩阵尺寸)=4时,
离散傅里叶矩阵的性质
- 对称性:是对称矩阵
- 满足
FFH=FHF=I ,即酉矩阵(unitary) 转置:循环矩阵的转置也是一个循环矩阵,其特征值和原特征值共轭。即
卷积:循环矩阵乘向量等价于生成向量的逆序和该向量卷积,可进一步转化为傅里叶变换后的向量点乘。
求逆:循环矩阵的逆,等价于将其特征值求逆。
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