一张图读懂极大极小搜索和α-β剪枝

极小极大算法 (The Minimax Algorithm)

[说明] 本文基于 <<CS 161 Recitation Notes - The Minimax Algorithm>>， 本文中的图片均来源于此笔记。

极小极大算法常用于二人博弈游戏，目的是寻找最优的方案使得自己能够利益最大化。基本思想就是假设自己（A）足够聪明，总是能选择最有利于自己的方案，而对手（B）同样足够聪明，总会选择最不利A的方案。

下面举个例子进行说明：

设：正方形代表自己（A），圆代表对手（B），节点的每个孩子节点代表一个候选方案。

上图中显示了所有候选方案。让我们如下分析：（注意：图中的所有数字都是A的利益值，越大越有利于A）

假设A选择第一个方案，B有两个候选方案，B为了使得A利益最小化，所有在7和3中选择了3，所以A只能获得3。

假设A选择第二个方案，B只有一个选择，A最终可以获得15。

假设A选择第三个方案，B有4个可选方案，为了使得A利益最小，B选择第一个方案，则A只能获得利益1。

A为了使得自己利益最大，所以A会选择第一个方案，即获得利益15。

从上图可以看出，B总是选择候选方案中的最小值，而A总是选择候选方案中的最大值，极小极大的名字也就源于此。

该算法使用深度优先搜索（Depth First Search）遍历决策树来填充树中间节点的利益值，叶子节点的利益值通常是通过一个利益评估函数算得。

通常决策树的分支呈指数增长，所以基本不可能遍历整棵决策树，所以实际应用中通常会控制决策树深度，从而减少计算量。正因为无法遍历完整的决策树，所以该算法有可能造成误导，即选取的方案可能是局部最优而不是全局最优的。

有时候为了得到较好的效果不得不增加搜索树的深度，这样就增加了大量的计算。为了加快计算速度，减少计算量，可以使用Alpha-Beta剪枝算法（Alpha Beta Pruning）对搜索树进行剪枝。因为搜索树中有很多分支不需要遍历。

Alpha-Beta剪枝算法(Alpha Beta Pruning)

[说明] 本文基于<<CS 161 Recitation Notes - Minimax with Alpha Beta Pruning>>，文中的图片均来源于此笔记。

Alpha-Beta剪枝用于裁剪搜索树中没有意义的不需要搜索的树枝，以提高运算速度。

假设α为下界，β为上界，对于α ≤ N ≤ β:

若 α ≤ β  则N有解。

若 α > β 则N无解。

下面通过一个例子来说明Alpha-Beta剪枝算法。

上图为整颗搜索树。这里使用极小极大算法配合Alpha-Beta剪枝算法，正方形为自己（A），圆为对手（B）。

初始设置α为负无穷大，β为正无穷大。

对于B(第四层)而已，尽量使得A获利最小，因此当遇到使得A获利更小的情况，则需要修改β。这里3小于正无穷大，所以β修改为3。

(第四层)这里17大于3，不用修改β。

对于A(第三层)而言，自己获利越大越好，因此遇到利益值大于α的时候，需要α进行修改，这里3大于负无穷大，所以α修改为3

B(第四层)拥有一个方案使得A获利只有2，α=3,  β=2, α > β, 说明A(第三层)只要选择第二个方案, 则B必然可以使得A的获利少于A(第三层)的第一个方案,这样就不再需要考虑B(第四层)的其他候选方案了,因为A(第三层)根本不会选取第二个方案,多考虑也是浪费.

B(第二层)要使得A利益最小,则B(第二层)的第二个方案不能使得A的获利大于β, 也就是3. 但是若B(第二层)选择第二个方案, A(第三层)可以选择第一个方案使得A获利为15, α=15,  β=3, α > β, 故不需要再考虑A(第三层)的第二个方案, 因为B(第二层)不会选择第二个方案.

A(第一层)使自己利益最大,也就是A(第一层)的第二个方案不能差于第一个方案, 但是A(第三层)的一个方案会导致利益为2, 小于3, 所以A(第三层)不会选择第一个方案, 因此B(第四层)也不用考虑第二个方案.

当A(第三层)考虑第二个方案时,发现获得利益为3,和A(第一层)使用第一个方案利益一样.如果根据上面的分析A(第一层)优先选择了第一个方案,那么B不再需要考虑第二种方案,如果A(第一层)还想进一步评估两个方案的优劣的话, B(第二层)则还需要考虑第二个方案,若B(第二层)的第二个方案使得A获利小于3,则A(第一层)只能选择第一个方案,若B(第二层)的第二个方案使得A获利大于3,则A(第一层)还需要根据其他因素来考虑最终选取哪种方案.