4.3 拟合与求解optimize模块

SciPy的optimize模块提供了许多数值优化的算法，一些经典的优化算法包括线性回归、函数极值和根的求解以及确定两函数交点的坐标等。下面首先介绍简单的线性回归模型，然后逐渐深入解决非线性数据拟合问题。

4.3.1拟合 curve_fit()函数

线性回归有许多拟合数据的方法，我们将使用curve_fit()函数，它利用的是最小二乘算法。最小二乘算法是一种数学优化技术，在机器学习领域最有名和有效的算法之一。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
以下示例中，我们首先从已知函数中生成一些带有噪声的数据，然后使用curve_fit()函数拟合这些噪声数据。示例中的已知函数我们使用一个简单的线性方程式，即f(x)=ax+b。示例代码：

import numpy as npfrom scipy.optimize import curve_fit#创建函数模型用来生成数据def func(x, a, b):       return a*x + b#生成干净数据x = np.linspace(0, 10, 100)y = func(x, 1, 2)#对原始数据添加噪声yn = y + 0.9 * np.random.normal(size=len(x))#使用curve_fit函数拟合噪声数据popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)#输出给定函数模型func的最优参数print(popt)

返回结果如下：

[ 0.99734363  1.96064258]

如果有一个很好的拟合效果，popt返回的是给定模型的最优参数。我们可以使用pcov的值检测拟合的质量，其对角线元素值代表着每个参数的方差。

>>>print(pcov)[[ 0.00105056 -0.00525282] [-0.00525282  0.03519569]]

通过以下代码绘制出了拟合曲线与实际曲线的差异，示例代码：

m = np.array([x,np.ones(len(x))])import pylab as plpl.plot(x, y, color="green",label = "actual data")pl.plot(x, yn, "o", label = "actual data with noise")pl.plot(x, np.dot(m.T,popt), color="yellow", label = "fitting data")pl.legend(loc = "best")pl.show()

实际曲线、拟合曲线和噪音数据

下面做进一步研究，我们可以通过最小二乘拟合高斯分布（Gaussian profile），一种非线性函数：α*exp(-(x-μ)²/2σ²)
在这里，α表示一个标量，μ是期望值，而σ是标准差。示例代码：

#创建一个函数模型用来生成数据def func(x, a, b, c):        return a*np.exp(-(x-b)**2/2*c**2))#生成原始数据x = np.linspace(0, 10, 100)y = func(x, 1, 5, 2)#对原始数据增加噪声yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))#使用curve_fit函数拟合噪声数据popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)#popt返回最拟合给定的函数模型func的参数值print(popt)

通过以上绘图，我们可以看出对高斯分布函数拟合的效果是可以接受的。
随着研究的深入，我们可以拟合一个多重高斯分布的一维数据集。现在将这个函数扩展为包含两个不同输入值的高斯分布函数。这是一个拟合线性光谱的经典实例，示例代码如下：

#二重高斯模型def func(x, a0, b0, c0, a1, b1, c1):      return a0*np.exp(-(x - b0) ** 2/(2 * c0 ** 2)) + a1 * np.exp(-(x-b1) ** 2/(2 * c1 ** 2))#生成原始数据x = np.linspace(0, 20, 200)y = func(x, 1, 3, 1, -2, 15, 0.5)#对原始数据增加噪声yn = y + 0.9 * np.random.normal(size=len(x))#如果要拟合一个更加复杂的函数，提供一些估值假设对拟合效果更好guesses = [1, 3, 1, 1, 15, 1]#使用curve_fit函数拟合噪声数据popt, pcov = curve_fit(func, x, yn, p0=guesses)

4.3.2 最小二乘拟合leastsq()函数

假设有一组实验数据(x[i], y[i])，我们知道它们之间的函数关系:y = f(x)，通过这些已知信息，需要确定函数中的一些参数项。例如，如果f是一个线型函数f(x) = k*x+b，那么参数k和b就是我们需要确定的值。如果将这些参数用 p 表示的话，那么我们就是要找到一组 p 值使得如下公式中的S函数最小：

最小二乘法公式

这种算法被称之为最小二乘拟合(Least-square fitting)。optimize模块提供了实现最小二乘拟合算法的函数leastsq()，leastsq是least square的简写，即最小二乘法。
下面是用leastsq()对线性函数进行拟合的程序，示例代码：

import numpy as npfrom scipy import optimize    # 从scipy库引入optimize模块X = np.array([ 8.19, 2.72, 6.39, 8.71, 4.7, 2.66, 3.78 ])Y = np.array([ 7.01, 2.78, 6.47, 6.71, 4.1, 4.23, 4.05 ])def residuals(p):        #计算以p为参数的直线和原始数据之间的误差        k, b = p        return Y-(k*X+b)# leastsq()使得residuals()的输出数组的平方和最小，参数的初始值为[1, 0]r = optimize.leastsq(residuals, [1,0])k, b = r[0]print("k=", k, "b=", b)

输出拟合参数的结果：

k = 0.613495349193  b = 1.79409254326

可以通过通过绘图对比真实数据和拟合数据的误差，示例代码；

import pylab as plpl.plot(X, Y, "o", label = "actual data")pl.plot(X, k*X+b, label = "fitting data")pl.legend(loc = "best")pl.show()

线性曲线拟合真实数据

绘图中的圆点表示真实数据点，实线表示拟合曲线，由此看出拟合参数得到的函数和真实数据大体一致。
接下来，用leastsq()对正弦波数据进行拟合，示例代码：

import numpy as npfrom scipy.optimize import leastsq   # 从scipy库的optimize模块引入leastsq函数import pylab as pl    # 引入绘图模块pylab，并重命名为pldef func(x, p):    """    数据拟合所用的函数: A*sin(2*pi*k*x + theta)    """    A, k, theta = p    return A*np.sin(2*np.pi*k*x+theta)   def residuals(p, y, x):    """    实验数据x, y和拟合函数之间的差，p为拟合需要找到的系数    """    return y - func(x, p) x = np.linspace(0, -2*np.pi, 100)A, k, theta = 10, 0.34, np.pi/6   # 真实数据的函数参数y0 = func(x, [A, k, theta])   # 真实数据y1 = y0 + 2 * np.random.randn(len(x))   # 加入噪声之后的实验数据，噪声是服从标准正态分布的随机量    p0 = [7, 0.2, 0]   # 第一次猜测的函数拟合参数# 调用leastsq进行数据拟合# residuals为计算误差的函数# p0为拟合参数的初始值# args为需要拟合的实验数据plsq = leastsq(residuals, p0, args=(y1, x))print ("actual parameter:", [A, k, theta]) # 真实参数print ("fitting parameter", plsq[0]) # 实验数据拟合后的参数pl.plot(x, y0, label="actual data") # 绘制真实数据pl.plot(x, y1, label="experimental data with noise")  # 带噪声的实验数据pl.plot(x, func(x, plsq[0]), label="fitting data")    # 拟合数据pl.legend()pl.show()

这个例子中我们要拟合的函数是一个正弦波函数，它有三个参数 A, k, theta ，分别对应振幅、频率、相角。假设我们的实验数据是一组包含噪声的数据 x, y1，其中y1是在真实数据y0的基础上加入噪声的到了。
通过leastsq函数对带噪声的实验数据x, y1进行数据拟合，可以找到x和真实数据y0之间的正弦关系的三个参数： A, k, theta。下面是程序的输出：

>>>actual parameter: [10, 0.34, 0.5235987755982988]>>>fitting parameter [ 10.12646889   0.33767587   0.48944317]

调用leastsq函数对噪声正弦波数据进行曲线拟合

我们看到拟合参数虽然和真实参数完全不同，但是由于正弦函数具有周期性，实际上拟合参数得到的函数和真实参数对应的函数是一致的。

4.3.3 标量函数极值求解fmin()函数

首先定义以下函数，然后绘制它，示例代码：

>>>import numpy as np>>>from scipy import optimize>>>import matplotlib.plot as plt>>> def f(x):...             return x**2 + 10*np.sin(x)  >>> x = np.arange(-10, 10, 0.1)>>> plt.plot(x, f(x)) >>> plt.show()

如图所示，该函数大约在-1.3有个全局最小值，在3.8有个局部最小值。找到这个函数最小值一般而有效的方法是从初始点使用梯度下降法。BFGS算法是做这个的好方法，BFGS算法被认为是数值效果最好的拟牛顿法，是由Broyden，Fletcher，Goldfarb，Shanno四个人分别提出的，故称为BFGS校正。具体算法思想及解释请查阅相关资料，这里直接通过optimize.fmin_bfgs()函数求解最小值，示例代码：

>>> optimize.fmin_bfgs(f, 0)Optimization terminated successfully.         Current function value: -7.945823         Iterations: 5         Function evaluations: 24         Gradient evaluations: 8array([-1.30644003])

这个方法一个可能的问题在于，如果函数有局部最小值，算法会因初始点不同找到这些局部最小而不是全局最小，示例代码：

>>> optimize.fmin_bfgs(f, 3, disp=0)array([ 3.83746663])

如果我们不知道全局最小值的邻近值来选定初始点，我们需要借助于耗费资源些的全局优化。为了找到全局最小点，最简单的算法是蛮力算法，该算法求出给定格点的每个函数值。示例代码：

>>>grid = (-10, 10, 0.1)>>>xmin_global = optimize.brute(f, (grid, ))>>>xmin_globalarray([-1.30641113])

对于大点的格点，scipy.optimize.brute()变得非常慢。scipy.optimize.anneal()提供了使用模拟退火的替代函数。对已知的不同类别全局优化问题存在更有效率的算法，但这已经超出scipy的范围。为了找到局部最小，我们把变量限制在(0,10)之间，使用scipy.optimize.fminbound()，示例代码：

>>> xmin_local = optimize.fminbound(f, 0, 10)>>> xmin_local3.8374671...

下面的程序通过求解卷积的逆运算演示fmin的功能。
对于一个离散的线性时不变系统h, 如果它的输入是x，那么其输出y可以用x和h的卷积表示：

y = x * h

现在的问题是如果已知系统的输入x和输出y，如何计算系统的传递函数h；或者如果已知系统的传递函数h和系统的输出y，如何计算系统的输入x。这种运算被称为反卷积运算，是十分困难的，特别是在实际的运用中，测量系统的输出总是存在误差的。
下面用fmin计算反卷积，这种方法只能用在很小规模的数列之上，因此没有很大的实用价值，不过用来评价fmin函数的性能还是不错的。示例代码：

import scipy.optimize as opt import numpy as np def test_fmin_convolve(fminfunc, x, h, y, yn, x0):     """    x (*) h = y, (*)表示卷积    yn为在y的基础上添加一些干扰噪声的结果    x0为求解x的初始值    """    def convolve_func(h):        """        计算 yn - x (*) h 的power        fmin将通过计算使得此power最小        """         return np.sum((yn - np.convolve(x, h))**2)     # 调用fmin函数，以x0为初始值    h0 = fminfunc(convolve_func, x0)     print fminfunc.__name__     print "---------------------"     # 输出 x (*) h0 和 y 之间的相对误差    print "error of y:", np.sum((np.convolve(x, h0)-y)**2)/np.sum(y**2)     # 输出 h0 和 h 之间的相对误差    print "error of h:", np.sum((h0-h)**2)/np.sum(h**2)     print def test_n(m, n, nscale):     """    随机产生x, h, y, yn, x0等数列，调用各种fmin函数求解b    m为x的长度, n为h的长度, nscale为干扰的强度    """    x = np.random.rand(m)     h = np.random.rand(n)     y = np.convolve(x, h)     yn = y + np.random.rand(len(y)) * nscale    x0 = np.random.rand(n)     test_fmin_convolve(opt.fmin, x, h, y, yn, x0)     test_fmin_convolve(opt.fmin_powell, x, h, y, yn, x0)     test_fmin_convolve(opt.fmin_cg, x, h, y, yn, x0)    test_fmin_convolve(opt.fmin_bfgs, x, h, y, yn, x0)test_n(200, 20, 0.1)

运行结果：

fmin---------------------error of y: 0.000360456186137error of h: 0.0122264525455Optimization terminated successfully.         Current function value: 0.207509         Iterations: 96         Function evaluations: 17400fmin_powell---------------------error of y: 0.000129249083036error of h: 0.000300953639205Optimization terminated successfully.         Current function value: 0.207291         Iterations: 20         Function evaluations: 880         Gradient evaluations: 40fmin_cg---------------------error of y: 0.000129697740414error of h: 0.000292820536053Optimization terminated successfully.         Current function value: 0.207291         Iterations: 31         Function evaluations: 946         Gradient evaluations: 43fmin_bfgs---------------------error of y: 0.000129697643272error of h: 0.000292817401206

4.3.4 函数求解fsolve()

optimize库中的fsolve函数可以用来对非线性方程组进行求解，其基本调用形式是fsolve(func, x0)。
func(x)是计算方程组误差的函数，它的参数x是一个矢量，表示方程组的各个未知数的一组可能解，func返回将x代入方程组之后得到的误差；x0为未知数矢量的初始值。首先通过一个简单的示例，利用fsolve()函数求解当线性函数为0时，x的值，示例代码：

from scipy.optimize import fsolveimport numpy as npline = lambda x:x+3solution = fsolve(line, -2)print(solution)

结果是[-3，]。通过以下绘图函数可以看出当函数等于0时，x轴的坐标值为-3，示例代码：

import pylab as plx = np.linspace(-5.0, 0, 100)pl.plot(x,line(x), color="green",label = "function")pl.plot(solution,line(solution), "o", label = "root")pl.legend(loc = "best")pl.show()

绘图结果：

函数的根

下面我们通过一个简单的示例介绍一下两个方程交点的求解方法，示例代码：

from scipy.optimize import fsolveimport numpy as np# 定义解函数def findIntersection(func1, func2, x0):        return fsolve(lambda x: func1(x)-func2(x),x0)# 定义两方程funky = lambda x : np.cos(x / 5) * np.sin(x / 2)line = lambda x : 0.01 * x - 0.5# 定义两方程交点的取值范围x = np.linspace(0, 45, 1000)result = findIntersection(funky, line, [15, 20, 30, 35, 40, 45])# 输出结果print(result, line(result))

通过绘图函数可以看出交点值，示例代码：

import pylab as plpl.plot(x,funky(x), color="green",label = "funky func")pl.plot(x,line(x), color="yellow",label = "line func")pl.plot(result,line(result), "o", label = "intersection")pl.legend(loc = "best")pl.show()

绘图结果：

两函数交点

如果要对如下方程组进行求解的话：

• f1(u1,u2,u3) = 0
• f2(u1,u2,u3) = 0
• f3(u1,u2,u3) = 0

那么func可以如下定义：

def func(x):    u1,u2,u3 = x    return [f1(u1,u2,u3), f2(u1,u2,u3), f3(u1,u2,u3)]

下面是一个实际的例子，求解如下方程组的解：

• 5*x1 + 3 = 0
• 4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2) = 0
• x1*x2 - 1.5 = 0

示例代码：

from scipy.optimize import fsolvefrom math import sin,cosdef f(x):    x0 = float(x[0])    x1 = float(x[1])    x2 = float(x[2])    return [        5*x1+3,        4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2),        x1*x2 - 1.5    ]result = fsolve(f, [1,1,1])print (result)

输出结果为：

[-0.70622057 -0.6        -2.5       ]