递归 放苹果问题和整数划分问题
来源:互联网 发布:淘宝上论文查重靠谱吗 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 06:17
放苹果问题
对于m个苹果,n个盘子f(m,n):
如果m<n,那么就跟m个盘子,m个苹果是一样的f(m,m)。
如果m>n,那么有两种情况:一种有空盘子的情况,一种没有空盘子的情况,两种情况不重叠且加一起一定为情况总数。
第一种情况:m个苹果放在n-1个盘子里,因为至少有1个空盘子,即f(m,n-1)
第二种情况:每个盘子都至少有一个苹果,m-n个苹果再放到n个盘子里,即f(m-n,n)。
由上面两种情况得到递归式f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)。
// ConsoleApplication1.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。//#include "stdafx.h"#include<iostream>using namespace std;int t , m, n;int f(int m, int n){if (m == 0 || n == 1) return 1; //没有苹果或者只有一个盘子则只有一种分法if (n > m) return f(m, m);return (f(m, n - 1) + f(m - n, n));}int main(){cin >> t;while (t--){cin >> m >> n;cout << f(m, n) << endl;} return 0;}整数划分问题
整数划分问题是算法中的一个经典命题之一,有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式: n=m1+m2+...+mi; (其中mi为正整数,并且1 <= mi <= n),则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。 如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m,即max(m1,m2,...,mi)<=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m); 例如当n=4时,他有5个划分,{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1}; 注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。 该问题是求出n的所有划分个数,即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;1.递归法: 根据n和m的关系,考虑以下几种情况: (1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分即{1}; (2) 当m=1时,不论n的值为多少,只有一种划分即n个1,{1,1,1,...,1}; (3) 当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况: (a). 划分中包含n的情况,只有一个即{n}; (b). 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。 因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1); (4) 当n<m时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于f(n,n); (5) 但n>m时,根据划分中是否包含最大值m,可以分为两种情况: (a). 划分中包含m的情况,即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m,因此这种情况下 为f(n-m,m) (b). 划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n,m-1); 因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1); 综上所述: f(n, m)= 1; (n=1 or m=1) f(n, n); (n<m) 1+ f(n, m-1); (n=m) f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)
代码如下:
#include<iostream> #include<string> #include<string.h> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int fun(int n, int m) { if(n == 1 || m == 1) return 1; else if(n < m) return fun(n, n); else if(n == m) return (1 + fun(n, m - 1)); else return (fun(n, m - 1) + fun(n - m, m)); } int main() { //freopen("Input.txt", "r", stdin); int N; scanf("%d", &N); while(N--) { int n; scanf("%d", &n); printf("%d\n", fun(n, n)); } return 0; }
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