算法笔记--逆元

逆元:(b/a)(mod m) = (b*x)(mod m)x表示a的逆元，并且a*x=1(mod m) 注意:只有当a与n互质的时候才存在逆元求逆元方法：1.费马小定理因为a^phi(m)＝1(mod m)，所以逆元为a^(phi(m)-1)(mod m)特别地，如果m为质数，逆元为a^(m-2)(mod m)2.扩展欧几里德 //返回d=gcd(a,b);和对应于等式ax+by=d中的x,ylong long extend_gcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {    if (a==0 && b==0) return -1;//无最大公约数    if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; }    long long d = extend_gcd(b, a%b , y, x);    y -= a/b*x;    return d;}//求逆元素//ax = 1(mod n)long long mod_reverse(long long a, long long n) {    long long x, y;    long long d = extend_gcd(a, n, x, y);    if (d == 1) return (x%n+n)%n;    else return -1;}3.O(n)时间求逆的代码(MOD必须是素数)long long inv[MAXN];inv[1] = 1;for (long long i = 2; i < MAXN; i++) {    inv[i] = inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;}4.有一种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下:(b/a)%m = b%(m*a)/a#define LL long longLL PowMod(LL a,　LL b,　LL MOD){    LL ret　=　1;    while　(b)　{        if　(b&1) ret　=　(ret*a)%MOD;        a　=　(a*a)　%　MOD;        b　>>=　1;    }    return ret;}LL mod_reverse(LL a,LL n){    return PowMod(a,n-2,n);}

//预处理出1-500的阶乘的逆元//返回d=gcd(a,b);和对应于等式ax+by=d中的x,ylong long quipow(long long a,long long b){    long long ans=1;     while(b)     {         if(b&1) ans=ans*a%mod;         b>>=1;         a=a*a%mod;     }     return ans%mod;}//fact[i]的的逆元nv[i]long long fac[505],inv[505];void prepare()          ////阶乘逆元{    fac[0]=fac[1]=1;    for(int i=2;i<=500;i++)   fac[i]=fac[i-1]*i%mod;    inv[500]=quipow(fac[500],mod-2);    for(int i=500-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;}