对分查找、欧几里得算法、幂运算

对分查找

• 算法思想

基本思想：

首先该数组必须是已经排序的数组，验证查找的数是否是居中的元素，如果是，则答案就找到了。如果该数小于中间的元素，则用同样的策略在居中元素的左边的序列继续查找；如果该数大于中间的元素，则用同样的策略在居中元素的右侧继续查找。最后如果找到则返回数组中元素的序号，否则查找完没有找到就终止查找。

算法步骤：

1.首先给搜索范围赋初值，Low=0,High=N-1;

2.只要Low<=High,及下界没有超过上届就一直循环；

3.循环体首先得到上下界的中间位置，然后判断所查找的数是大于中间元素，就将下界变为中间值+1,去右边空间查找；否则，判断查找的数是否小于中间元素，如果小于中间元素，就将上届赋值为中间值-1，去左边空间查找；否则就代表说查找的数等于中间元素，将中间值返回；

4.如果Low>High,表示已经查找完所有的元素，并没有输出结果，表明查找的数不在此数组中，返回-1。

• 运行时间

O(log N)

• 算法实现

int BinarySearch(int A[], int X, int N){int Low, Mid, High;int NotFound = -1;Low = 0;High = N - 1;while (Low <= High){Mid = (Low + High) / 2;if (A[Mid] < X)Low = Mid + 1;elseif (A[Mid] > X)High = Mid - 1;elsereturn Mid;}return NotFound;}

欧几里得算法

• 算法思想

基本思想：

两个整数的最大公因数（Gcd）是同时整除二者的最大整数。通过连续计算余数直到余数是0为止，最后的非零余数就是最大公因数。通过依次减小余数计算两个数的最大公因数。

算法步骤：

1.定义一个中间变量存储余数；

2.只要余数大于0就表明没有找到最大公因数就，就一直迭代；

3.在循环体中首先计算两个数的余数，将被除数赋值给第一个变量，余数赋值给第二个变量；

4.当余数等于0的时候，那个被除数（可能是上一个余数）就是最大公因数。

• 运行时间

O(log N)

• 算法实现

unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N){unsigned int Rem = 0;while (N>0){Rem = M%N;M = N;N = Rem;}return M;}

幂运算

• 算法思想

基本思想：

使用递归思想，将整数的幂运算逐步分解，将指数按照奇数还是偶数每次除2，最终递归的基本情况，依次输出。

算法步骤：

1.处理基本情况，指数为0返回1，指数为1返回本身；

2.当指数为偶数时，递归调用函数本身，幂自乘作为新的参数，指数除以2作为新的参数；

3.当指数为奇数时，递归调用函数本身，幂自乘作为新的参数，指数除以2作为新的参数，然后再将结果乘以幂本身。

• 运行时间

O(log N)

• 算法实现

int IsEven(unsigned int N){if (N % 2 == 1)return 0;elsereturn 1;}long int Pow(long int X,unsigned int N){if (N == 0)return 1;if (N == 1)return X;if (IsEven(N))return Pow(X*X, N / 2);elsereturn Pow(X*X, N / 2)*X;}

算法改进1：去掉N=1的情况，因为这种情况在N为基数的时候已经包括。

int IsEven(unsigned int N){if (N % 2 == 1)return 0;elsereturn 1;}long int Pow(long int X, unsigned int N){if (N == 0)return 1;if (IsEven(N))return Pow(X*X, N / 2);elsereturn Pow(X*X, N / 2)*X;}

算法改进2：将最后一行进行改进，结果和运行时间保持不变。

int IsEven(unsigned int N){if (N % 2 == 1)return 0;elsereturn 1;}long int Pow(long int X, unsigned int N){if (N == 0)return 1;if (IsEven(N))return Pow(X*X, N / 2);elsereturn Pow(X, N-1)*X;}