浅谈莫比乌斯反演

之前一直觉得这是一个这辈子都学不到的东西，好像太厉害了根本不适合我，看来我以前（虽然现在也还是）太菜了

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对于一个算数函数

f(x)

如果我们对f（x）进行如下规定的求和

F(n)=∑d|nf(d)

其中d|n的含义为d可以整除n，例如对于n=12的情况

F(12)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12)

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我们要思考的是，这种关系是否可以反着来，比如说用F的值来求f的值？

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那么我们现在可以进行观察：
F(1)=f(1)
F(2)=f(1)+f(2)
F(3)=f(1)+f(3)
F(4)=f(1)+f(2)+f(4)
F(5)=f(1)+f(5)
F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
F(7)=f(1)+f(7)
F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)

发现其实对于f（x），我们可以通过F的加减来进行求解，具体过程如下

f(1)=F(1)
f(2)=F(2)−F(1)
f(3)=F(3)−F(1)
f(4)=F(4)−F(2)
f(5)=F(5)−F(1)
f(6)=F(6)−F(3)−F(2)+F(1)
f(7)=F(7)−F(1)
f(8)=F(8)−F(4)

现在我们可以发现求解f（x）的如下的大致规律：

f(n)=±someofF(n/d)

其中d|n
也就是说，并不完全取完，比如说对于f（6）的计算

f(6)=F(6)−F(3)−F(2)+F(1)

我们发现所有F（n/d）都进行了运算，而f（8）则并不是这样

所以可能有如下的式子可以表示f（n）的计算

f(n)=∑d|nμ(d)F(n/d)

显然其中的μ函数是一个算数函数，μ可以等于1，表示加上这项，可以等于-1，表示减去这项，也可以等于0，表示不处理这项，那么如果我们要这样表示f（x）的求解的话，可以直接计算出

μ value 1 1 2 -1 3 -1 4 0 5 -1 6 1 7 -1 8 0

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对于一个素数p，我们可以得到

F(p)=f(1)+f(p)

=>f(p)=F(p)−f(1)

=>f(p)=F(p)−F(1)

因为对于素数，F（1）的那项是减号，所以μ（n/1）=μ（n）=-1
即：

μ(prime)=−1

接下来我们可以推导

μ(p2)=0

其中

F(p2)=f(1)+f(p)+f(p2)

=>f(p2)=F(p2)−f(1)−f(p)

=>f(p2)=F(p2)−(F(p)−F(1))−F(1)

=>f(p2)=F(p2)−F(p)

意思就是说F（1）项没有了，那么

μ(p2/1)=μ(p2)=0

证毕

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类似的推理可以得到如下结论

μ(pk)=0

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得到这些结论之后，我们可以进行莫比乌斯函数（Möbius function）的定义

μ（n）的值对应如下表格

value situation 1 n=1 (-1)^r n=p1 * p2 * p3 * … * pr，其中pi为不同素数 0 其他情况

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现在我们来证明莫比乌斯函数是一个积性函数

积性函数的定义：

积性函数指对于所有互质的整数 a 和 b 有性质 f ( a * b ) = f ( a ) * f ( b ) 的数论函数

令m，n为两个互素的数，需要证明：

μ(m∗n)=μ(m)∗μ(n)

①：如果n=1或者m=1
因为μ（1）=1，所以显然成立
②：如果n≠1并且m≠1
如果n和m中有一个被素数的平方整除，那么我们显然可以得到
μ（m * n）=μ（m）* μ（n）
因为LHS=RHS=0
如果他们都不被素数平方整除并且他们互素，则根据唯一分解定理可以得到

m=p1∗p2∗p3∗...∗ps

n=q1∗q2∗q3∗...∗qt

其中没有素数同时出现在m和n的唯一分解中
则

μ(n∗m)=(−1)s+t=(−1)s∗(−1)t=μ(m)∗μ(n)

证毕

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由于μ函数是积性函数，则μ函数的和函数也是积性函数，证明如下：

F′(n)=∑d|nμ(d)=F′(pa11∗pa22∗...∗pann)=∑d|pa11∗pa22∗...∗pannf(d)

=∑a1i1=0∑a2i2=0∑a3i3=0∑a4i4=0...∑anin=0f(pi11∗pi22∗...∗pinn)

=∑a1i1=0∑a2i2=0∑a3i3=0...∑anin=0f(pi11)∗f(pi22)∗...∗f(pinn)

=∑a1i1=0f(pi11)∑a2i2=0f(pi22)∑a3i3=0f(pi33)...∑anin=0f(pn2n)

=(∑a1i1=0f(pi11))(∑a2i2=0f(pi22))...(∑anin=0f(pn2n))

=F′(pa11)∗F′(pa22)∗F′(pa33)...∗F′(pann)

故

F′(pa11∗pa22∗...∗pann)=F′(pa11)∗F′(pa22)∗F′(pa33)...∗F′(pann)

证毕

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然后证明莫比乌斯函数的和函数F’满足如下式子

F′(n)=∑d|nμ(d)

那么有恒成立的两个式子

F′(n)=1(n==1)

F′(n)=0(n>1)

因为已经证明了μ函数是积性函数，所以我们再次假设p是素数，k是一个正整数

试证明如下式子

F′(pk)=0

证明如下：

F′(pk)=∑d|pkμ(d)=μ(1)+μ(p)+μ(p2)+...+μ(pk)

=1+(−1)+0+0+0+0+0+...+0

=0=0

现在我们假设

F′(n)=∑d|nμ(d)

中的n大于1，那么显然可以对n进行分解，那么

n=pa11∗pa22∗pa33∗...∗pann

那么由之前证明的μ函数的和函数也是积性函数可以得到

F′(n)=F′(pa11∗pa22∗...∗pann)=F′(pa11)∗F′(pa22)∗F′(pa33)...∗F′(pann)

因为等式右边的每个因子都是0，所以

F′(n)=0 (n>1)

证毕

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我们来证明我们莫比乌斯反演需要证明的最后一个等式，这个其实也不难理解，对于算数函数f，F为f的和函数，对任意的n∈N*有

F(n)=∑d|nf(d)①

则一定有

f(n)=∑d|nμ(d)F(n/d)②

对于②式，我们进行一定的变通，具体操作是引入一个x来进行转换

F(n/d)=∑x|(n/d)f(x)

则②式右手边

RHS=∑d|nμ(d)F(n/d)=∑d|n(μ(d)∑x|n/df(x))=∑d|n(∑x|n/dμ(d)f(x))③

这里有个变换是这样的

∑d|n(∑x|(n/d)μ(d)f(x))=∑x|n(∑d|(n/x)f(x)μ(d))=∑x|n(f(x)∑d|(n/x)μ(d))

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这一步看起来不是那么显然，我们可以按如下两条思路思考

壹： 首先如果对于一个数对（d，x），满足 d | n 和 x |（n / d）, 则一定有 x | n 和 d | （n / x ）

贰：我们对于一个确切的d，思考

∑d|n(∑x|(n/d)μ(d)f(x))

中枚举到的所有x（可以模拟记录下来），将所有μ（d）f（x）放到集合一

再思考对于

∑x|n(∑d|(n/x)f(x)μ(d))

固定之前的那个确切的d，来枚举第一个Σ中的x，将所有的μ（d）f（x）放到集合二

我们可以发现集合一等于集合二

也就是说我们总是可以得到一样的枚举，只是枚举方式发生了改变而已

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那么证明了如上式子成立之后，我们可以继续进行进一步探索

∑d|n(∑x|(n/d)μ(d)f(x))=∑x|n(∑d|(n/x)f(x)μ(d))=∑x|n(f(x)∑d|(n/x)μ(d))

由之前发现的结论，μ函数的和函数不是1（n=1）就是0（n>1）

∑x|n(f(x)∑d|(n/x)μ(d))

中的

∑d|(n/x)μ(d)

当且仅当n/x=0的时候，有

∑d|1μ(d)=1

其他时候都是0

则得到最终结果

∑x|n(f(x)∑d|(n/x)μ(d))=f(n)∗1=f(n)

证毕

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以上就是莫比乌斯函数的几个性质的证明以及莫比乌斯反演的证明，实际上莫比乌斯反演可以做很多事情，可能会后续更新吧

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水题：

题目一：

证明算数函数f（n）的和函数F（n）为积性函数则可以推导出f（n）为积性函数

题目二：

现在有

α（n）函数表示函数f（n）=n的和函数

β（n）函数表示函数f（n）=1的和函数

也就是

α(n)=∑d|nd

β(n)=∑d|n1

求证：对于所有的n∈N*，有如下式子

n=∑d|nμ(n/d)α(d)

1=∑d|nμ(n/d)β(d)