关于分治的入门专题

最近一直刷bzoj，没有开新专题，所以开了个新专题分治。

主要是刷到几道题要用分治，但不会，所以本蒟蒻决定入个门。

首先先看个qzc大神的论文：《分治算法在树的路径问题中的应用》

然后来到入门题：poj1741，题目大意详见论文。

Orz   lishaozhe1024

我们随便找一点作为根，将无根树转化为有根树

那么树的路径分为两种 ， 一种是经过树根的 ， 另外一种是不经过树根

如果我们有办法求出路径经过树根的有多少对点 ，那么不经过树根的，只要递归子树就行了 ， 这样问题就得到解决了

那么分治 ， 我们先看如何分 ，在最坏的情况下，比如一条链的情况，我们可能要递归 N 次 ， 这样的复杂度肯定不是我们想要的 。

那么如果避免这样的情况 ， 就是在选择根的时候，我们选择这棵树的“重心”，所谓树的重心，就是这个点的所有子树的结点个数的最大值是最小的。

如何求树的重心 ， 先dfs一遍，求出每个结点的子树的结点的最大值dp[i]和以这个结点为根的树的结点总和sum[i]。那么第二次dfs的时候，比较dp[i] 和 sum[root] - sum[i] 的最大值即可。

这样的分治策略 ，最坏情况的递归次数是 logN 的

然后看如何治 ，我们要求的是有多少点对的路径之和小于等于K，并且是经过根节点的。

那么我们先一遍dfs求出每个结点到根节点的距离 ， 放在一个数组中 ， 排完序之后 ， 我们可以 two pointer 求出选两个数，和小于等于K的方案数( 复杂度为O(n) ) 。

这样求得的答案包括了两个顶点都来自同一子树的情况 ， 这样就不经过根节点了， 所以我们要把这些情况减掉

我们只要对各个子树同样求一遍答案，减去即可。

假如排序我们用快排，那么整个算法的复杂度是 O( NlogNlogN )

代码：

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int N=10010;const int M=50100;int n,k;struct node{int x,y,z,next;}sa[M];int len,first[N];bool vis[N];int ans,mi,mx[N],size[N],root,num;void init(){memset(first,-1,sizeof(first));memset(vis,0,sizeof(vis));len=0;ans=0;}void ins(int x,int y,int z){len++;sa[len].x=x;sa[len].y=y;sa[len].z=z;sa[len].next=first[x];first[x]=len;}void dfssize(int x,int fa){mx[x]=0;size[x]=1;for(int i=first[x];i!=-1;i=sa[i].next){int y=sa[i].y;if(!vis[y] && y!=fa){dfssize(y,x);if(size[y]>mx[x]) mx[x]=size[y];size[x]+=size[y];}}}void dfsroot(int r,int u,int fa){if(size[r]-size[u]>mx[u]) mx[u]=size[r]-size[u];if(mx[u]<mi) mi=mx[u],root=u;for(int i=first[u];i!=-1;i=sa[i].next){int y=sa[i].y;if(!vis[y]&&y!=fa) dfsroot(r,y,u);}}int dis[N];void dfsdis(int x,int d,int fa){dis[++num]=d;for(int i=first[x];i!=-1;i=sa[i].next){int y=sa[i].y;if(!vis[y]&&y!=fa) dfsdis(y,d+sa[i].z,x);}}int cale(int u,int d){int ret=0;num=0;dfsdis(u,d,0);sort(dis+1,dis+1+num);int l=1,r=num;while(l<r){while(dis[l]+dis[r]>k&&l<r) r--;ret+=r-l;l++;}return ret;}void dfs(int x){mi=n;dfssize(x,0);dfsroot(x,x,0);ans+=cale(root,0);vis[root]=1;for(int i=first[root];i!=-1;i=sa[i].next){int y=sa[i].y;if(!vis[y]) {ans-=cale(y,sa[i].z);     dfs(y);}}}int main(){while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF){if(!n&&!k) break;//init();for(int i=1;i<n;i++){int u,v,z;scanf("%d%d%d",&u,&v,&z);//printf("!");ins(u,v,z);ins(v,u,z);}dfs(1);printf("%d\n",ans);}return 0;}

orz qzc

论文的第二题一脸懵逼，看了题解还是一脸懵逼。（我能怎么办，我也很绝望啊！）

于是强行理解了一波，觉得自己理解的太垃圾，所不写出来了，等我做多几道分治题再写。

奉上一个膜了N多神牛的代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;const int MAXN=201000;int n, k, head[MAXN], cnt, root, min1, ans;int F[MAXN];int G[MAXN];int size[MAXN],color[MAXN],vis[MAXN],num[MAXN];struct node{        int u,v,w,next;}edge[MAXN<<1];struct N{        int v, num, w;}T[MAXN];bool cmp(N x, N y){        return x.num<y.num;}void add(int u, int v, int w){        edge[cnt].v=v;        edge[cnt].w=w;        edge[cnt].next=head[u];        head[u]=cnt++;}void init(){        memset(head,-1,sizeof(head));        memset(color,0,sizeof(color));        memset(vis,0,sizeof(vis));        cnt=0;}void dfsroot(int u, int fa, int s){        int i, max1=-1;        for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){                int v=edge[i].v;                if(v==fa||vis[v]) continue ;                dfsroot(v,u,s);                max1=max(max1,size[v]);        }        max1=max(max1,s-size[u]);        if(min1>max1){                min1=max1;                root=u;        }}void dfssize(int u, int fa){        size[u]=1;        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){                int v=edge[i].v;                if(v==fa||vis[v]) continue ;                dfssize(v,u);                size[u]+=size[v];        }}void getnum(int u, int fa){        num[u]=color[u];        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){                int v=edge[i].v;                if(v==fa||vis[v]) continue ;                getnum(v,u);                num[u]=max(num[u],num[v]+color[u]);        }}void getG(int u, int fa, int dep, int val){        G[dep]=max(G[dep],val);        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){                int v=edge[i].v;                if(v==fa||vis[v]) continue ;                getG(v,u,dep+color[v],val+edge[i].w);        }}void dfs(int u){        vis[u]=1;        int i, j;        for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){                int v=edge[i].v;                if(vis[v]) continue ;                dfssize(v,-1);                min1=INF;                dfsroot(v,-1,size[v]);                dfs(root);        }        int tot=0;        for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){                int v=edge[i].v;                if(vis[v]) continue ;                getnum(v,-1);                T[tot].v=v;                T[tot].num=num[v];                T[tot].w=edge[i].w;                tot++;        }        sort(T,T+tot,cmp);        int lim=k-color[u];        for(i=0;i<=T[tot-1].num;i++) F[i]=-INF;        for(i=0;i<tot;i++){                for(j=0;j<=T[i].num;j++) G[j]=-INF;                getG(T[i].v,u,color[T[i].v],T[i].w);                if(i){                        for(j=0;j<=T[i].num&&j<=lim;j++){                                int tmp=min(lim-j,T[i-1].num);                                if(F[tmp]==-INF) continue ;                                ans=max(ans,F[tmp]+G[j]);                        }                }                for(j=0;j<=T[i].num&&j<=lim;j++){                        F[j]=max(F[j],G[j]);                        if(j) F[j]=max(F[j],F[j-1]);                        ans=max(ans,F[j]);                                        }        }        vis[u]=0;}int main(){        int m, i, u, v, w, x;        while(scanf("%d%d%d",&n,&k,&m)!=EOF){                init();                for(i=0;i<m;i++){                        scanf("%d",&x);                        color[x]=1;                }                for(i=1;i<n;i++){                        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);                        add(u,v,w);                        add(v,u,w);                }                ans=0;                dfssize(1,-1);                min1=INF;                dfsroot(1,-1,n);                dfs(root);                printf("%d\n",ans);        }        return 0;}