离散优化初步

离散优化

我们先来看一道大水题（特别水和点击重新加载一样水）

线段覆盖
时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB
X轴上方有若干条平行于X轴的线段，求这些线段能覆盖到的X轴的总长度？
输入
第一行一个数n(n<=1000)，表示线段的个数；
接下来n行，每行两个整数ai,bi
（-10^8<=ai,bi<=10^8)，代表一个线段的两个端点。
输出
输出覆盖x轴的长度。
样例输入
2
10 12
2 4
样例输出
4

乍一看这道题感觉水得很彻底，完全可以用sort对线段的左端点排一遍序，然后找右端点与下一条线段的左端点进行比较，如果大于就重复，小于就当前记录的右端点减去当前记录的左端点，重新记录。

其实这道题就是这么水。

当然还有另外一种做法，把每一个坐标开成一个bool数组的下标，遇到可以覆盖的就把覆盖的区域的值变为1，最后遍历一遍，就可求出最大的覆盖长度。那么问题来了，在128M的内存限制下开一个如此之大的当然是可以的，但如果数据更大，达到了10^10怎么办呢，这个时候就需要用一波另外的玄学方法。

这就是今天说的另外一种做法（终于说道正题了）——离散优化。

什么是离散优化呢？

离散优化就是在数据大小很大，但是数据个数很小的情况下使用的的一种神奇的算法。为什么说它神奇呢，以这道题为例。

我们把线段对应的端点两两之间分成一段，然后这有什么用呢？用处就大了，我们只需要建立一个大小为2*n的数组（a[ ]）就可以进行操作了，再通过一个flag数组记录端点与端点之间的关系（flag[i]=1表示a[i]到a[i+1]被覆盖了）。
首先我们把每一个端点都存入数组中，然后用sort对端点数组进行排序，排好之后再对每条线段的左端点和右端点进行查找，找到之后，把flag数组中的左端点位置到右端点位置都赋值为1。

具体语句见代码。

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;struct node{    int left,right;}edge[1100];int a[2500];bool flag[2500];int half(int x,int l,int r) //二分查找可以提高时间效率{    if(l>r) return -1;    if(x==a[(l+r)/2]) return (l+r)/2;    if(x>a[(l+r)/2]) half(x,(l+r)/2+1,r);    else if(x<a[(l+r)/2]) half(x,l,(l+r)/2-1);}int main(){    int n;    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d%d",&edge[i].left,&edge[i].right);        a[2*i-1]=edge[i].left;        a[2*i]=edge[i].right;    }    sort(a+1,a+2*n+1);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        int l=half(edge[i].left,1,2*n);        int r=half(edge[i].right,1,2*n);        for(int j=l;j<r;j++)            flag[j]=true;    }    int ans=0;    for(int i=1;i<=2*n;i++)        if(flag[i])            ans+=a[i+1]-a[i];    printf("%d",ans);}