ZKW，SPFA费用流模板

费用流比较常用的做法有两种：SPFA费用流和ZKW费用流

两种费用流的基本做法相同：找到费用最小的路，不断增广到不能增广为止
正确性很显然，因为每次都找费用最小的路，所以费用一定最小，因为增广到不能增广才停止，所以一定是最大流

SPFA

费用流打起来和理解起来很简单，就是通过SPFA找到费用最小的路，并把这条路上的每条边的流量都减去这整条路的流量最小值，不断循环直到找不到增广路位置
缺点也很显然：在稠密图中速度太慢

Code：

找不到C++的了，发一个几年前码的Pascal吧

function spfa:boolean;var    i,j,k,l:longint;begin    for i:=1 to t do begin f[i]:=-maxlongint+100000;bz[i]:=false;end;    i:=0;j:=1;    d[1]:=s;bz[s]:=true; f[s]:=0;    while i<j do    begin        inc(i);        l:=d[i];        for k:=1 to t do        begin            if (a[l,k]>0)and(f[l]+c[l,k]>f[k]) then            begin                f[k]:=c[l,k]+f[l];                from[k]:=l;                if bz[k]=false then                begin                    bz[k]:=true;                    inc(j);d[j]:=k;                end;            end;        end;        bz[l]:=false;    end;    exit(f[t]>0);end;begin    while spfa do    begin        i:=t; mi:=maxlongint;        while i<>s do        begin            j:=i;i:=from[i];            mi:=min(mi,a[i,j]);        end;        i:=t;        while i<>s do        begin            j:=i;i:=from[i];            dec(a[i,j],mi);inc(a[j,i],mi);            ans:=ans+c[i,j];        end;    end;    writeln(ans);end.

ZKW

这种做法略高级，理解起来有一点难度
它和SAP的做法有点像，SAP是只走高度相差为1的点，ZKW只走费用差最小的点
也就是说，ZKW中的费用相当于SAP中的高度
设dis[x]表示x到T的最短费用
假设有一条路从x->y
那么dis[x]-fee[x,y]=dis[y]
也就是每次在已经走的点中选一个高度（dis）升高最小的作为下次增广的边
我语文能力太差，直接上标吧
putin是连边

#include<cstdio>#include<cmath>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;int n,m,S,T,last[M],next[M*10],to[M*10],date[M*10],tot=1,bz[M],a[N][N];db fee[M*10],dis[M];void putin(int x,int y,int z,db f){    next[++tot]=last[x];last[x]=tot;to[tot]=y;fee[tot]=f,date[tot]=z;    next[++tot]=last[y];last[y]=tot;to[tot]=x;fee[tot]=-f;date[tot]=0;}int dg(int x,int z){    if(x==T) return z;    int jy=0;bz[x]=1;    for(int i=last[x];i;i=next[i])    {        int y=to[i];        if(!bz[y]&&date[i]&&abs(dis[y]-dis[x]+fee[i])<0.000001)        {            int qq=dg(y,min(date[i],z));            jy+=qq,date[i]-=qq,date[i^1]+=qq,z-=qq;            if(z==0) return jy;        }    }    return jy;}bool change(){    db minh=INF;    fo(x,1,T)     if(bz[x])    for(int i=last[x];i;i=next[i])    {        int y=to[i];        if(!bz[y]&&date[i]>0)        minh=min(minh,dis[y]-dis[x]+fee[i]);    }    if(abs(minh-INF)<0.000001) return 0;    if(minh<-1) return 0;    fo(x,1,T) if(bz[x]) dis[x]+=minh;    return 1;}int main(){    do do        memset(bz,0,sizeof(bz));        while(dg(S,INF));    while(change());}