最短路径算法

最短路径算法总结

最短路径算法
1、Bellman-Ford算法

2、Dijkstra算法(代码 以邻接矩阵为例) && Dijkstra + 优先队列的优化(也就是堆优化)

3、floyd-Warshall算法(代码 以邻接矩阵为例)

4、SPFA(代码 以前向星为例)

5、BFS 求解最短路

6、路径还原

---

参考文章
1.Bellman - Ford 算法:
Bellman-Ford算法详解

const int INF = 1000;const int MAXN =10000;const int MAXE =100000;int dist[MAXN + 3];//dist[i]表示点 i 到源点的最短距离int head[MAXN + 3];//链式前向星用于存图struct NODE { int to; int w; int next; };NODE edge[MAXE + 3];bool BellmanFord(int n, int s) {// s 为源点    for(int i = 0; i <= n; i++) dist[i] = INF;//初始化    dist[s] = 0;    for(int i = 0; i < n - 1; i++) {//对于所有边循环 n - 1,即尝试松弛 n - 1 次        for(int j = 1; j <= n; j++) { //选取一个起点            if(dist[j] == INF) continue;            for(int k = head[j]; k != -1; k = edge[k].next) { //遍历从当前起点出发的所有边,并尝试进行松弛                if(edge[k].w != INF && dist[edge[k].to] > dist[j] + edge[k].w) {//进行松弛操作                    dist[edge[k].to] = dist[j] + edge[k].w;                }            }        }    }    for(int j = 1; j <= n; j++) {//进行第 n 次松弛 判断是否存在负环        for(int k = head[j]; k != -1; k = edge[k].next) { //存在负环返回 false            if(edge[k].w != INF && dist[edge[k].to] > dist[j] + edge[k].w) return false;        }    }    return true;}

2.Dijkstra算法
Dijkstra算法详解

const int INF = INT_MAX;const int MAXN =10000;int mmap[MAXN + 3][MAXN + 3];//记录图的信息int dist[MAXN + 3];//dist[i]表示点 i 到源点的最短距离int pre[MAXN + 3];//记录前趋 记录最短路径bool setA[MAXN + 3];//是否属于集合A,集合A代表着已经确定最短路径的点集void Dijkstra(int n, int s) {// s 为源点    for(int i = 1; i <= n; i++) { //初始化        setA[i] = false;        if(i != s) {            dist[i] = mmap[s][i];            pre[i] = s;        }    }    dist[s] = 0, setA[s] = true;    for(int i = 1; i <= n - 1; i++) {//求 s 到其他 n - 1个节点的最短路径        int minn = INF;        int k = 0;        for(int j = 1; j <= n; j++) { // 在属于集合 Vb 的点中取一点, 满足 s 到其的距离最小             if(!setA[j] && dist[j] < minn) {                minn = dist[j], k = j;            }        }        if(!k) return; // 没有点可以扩展,即剩余的点不可达,则结束算法        setA[k] = true; //将新找的点从集合 Vb 中除去, 加入集合 Va        for(int j = 1; j <= n; j++) {            //对于每个与 k 相邻 且属于 Vb 的点,更新 s 到 j 的最短路径            if(!setA[j] && mmap[k][j] != INF && dist[j] > dist[k] + mmap[k][j]) {                dist[j] = dist[k] + mmap[k][j];                pre[j] = k;            }        }    }}

3.关于松弛问题的解释
关于松弛思想的解释
松弛(relaxation):指对于图 G = (V, E) 中 每个顶点v ∈ V，都设置一个属性dist[v]，用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界.在开始进行一个最短路径算法时,只知道图中边和权值.随着算法的进行,逐渐得到各对顶点的最短路径的信息.算法会逐渐更新这些信息,每步都会检查是否可以找到一条路径比当前给定路径更短.这一过程通常称为松弛.

下面这两张图即为对边

Relax( u,  v,  W<u, v> ) {//W<u, v>代表边<u, v> 的权值    if ( dist[v] > dist[u] + W<u, v> ) {        dist[v] = dist[u] + W<u, v>;     }}