数据结构（Java）--图

来源：互联网发布：js获取网页源代码编辑：程序博客网时间：2024/06/05 09:43

图（graph）是由结点集合及结点间的关系集合组成的一种数据结构。图中的结点又称为顶点，结点之间的关系称为边（edge）。一个图G 记作

G=(V, E)

其中，V 是顶点A 的有限集合，E 是边的有限集合。即

V ={A|A∈某个数据元素集合}

E={(A,B )|A,B∈V } 或 E={〈A,B〉|A,B∈V且Path(A,B) }

其中，(A,B)表示从结点A到B的一条双向通路，即(A,B)没有方向；〈A,B〉表示从结点A到B的一条单向通路，即〈A,B〉是有方向的。

（1）无向图

（2）有向图

（3）完全图

完全图指图的边数达到最大值

n个顶点的无向完全图有

条边。

n个顶点的有向完全图有n*（n-1）条边。

（4）带权图

（5）邻接顶点

无向边和顶点关系
若(A，B)是一条无向边，则称顶点A和B互为邻接点（adjacent vertex）。边(A，B)与顶点A和B相关联。
有向边和顶点关系
若<A，B>是一条有向边，则称顶点A邻接到顶点B或顶点B邻接自顶点A。边<A，B>与顶点A和B相关联。
2.顶点的度
（1）无向图中顶点v的度(Degree)　
无向图中顶点v的度是跟该顶点相关联的边的数目，记为deg(v)。
（2）有向图顶点v的入度(InDegree)
有向图中，以顶点v为终点的边的数目称为v的入度，记为indeg(v)。
（3）有向图顶点v的出度(Outdegree)
有向图中，以顶点v为起点的边的数目，称为v的出度，记为outdeg(v)
(4)有向图中，顶点v的度定义为该顶点的入度和出度之和，即deg(v)=indeg(v)+outdeg(v)。
度数和边数的关系
3、子图
设G=(V，E)是一个图，若V'是V的子集，E'是E的子集，且E'中的边所关联的顶点均在V'中，则G'=(V'，E')也是一个图，并称其为G的子图(Subgraph)。
若G' ≠G，称G'为G的真子图。
若G'为G的子图，且V' =V，称G'为G的生成子图。
4、路径(Path)
（1）无向图的路径
在无向图G中，若存在一个顶点序列vp，vi1，vi2，…，vim，vq，使得(vp，vi1)，(vi1，vi2)，…，(vim，vq)均属于E(G)，则称顶点vp到vq存在一条路径。
（2）有向图的路径
在有向图G中，路径也是有向的,它由E(G)中的有向边<vp，vi1>，<vi1，vi2>，…，<vim，vq>组成。
（3）路径长度
- 对于不带权图，路径长度定义为该路径上边的数目。
- 对于带权图，路径长度定义为该路径上各边的权值之和。
  （4）简单路径
  若一条路径上除了vp和vq可以相同外，其余顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径。
  【例】在图G2中顶点序列v1，v2，v3，v4是一条从顶点v1到顶点v4的长度为3的简单路径
  【例】在图G2中，顶点序列v1，v2，v4，v1，v3是一条从顶点v1到顶点v3的长度为4的路径，但不是简单路径；
  （5）回路
  起点和终点相同(vp=vq)且长度大于1的简单路径称为回路。
  【例】图G2中，顶点序列v1，v2，v4，v1是一个长度为3的回路【例】有向图G1中，顶点序列v1，v2，v1是一长度为2的回路。
- 5、连通性
  （1）连通图和连通分量
  （i）顶点间的连通性
  在无向图G中，若从顶点vi到顶点vj有路径(当然从vj到vi也一定有路径)，则称vi和vj是连通的。
  （ii）连通图
  若V(G)中任意两个不同的顶点vi和vj都连通(即有路径)，则称G为连通图。
  （iii）连通分量
  无向图G的极大连通子图称为G的连通分量。
  注意：
  ① 任何连通图的连通分量只有一个，即是其自身
  ② 非连通的无向图有多个连通分量。
- （2）强连通图和强连通分量
  （i）强连通图
  有向图G中，若对于V(G)中任意两个不同的顶点vi和vj，都存在从vi到vj以及从vj到vi的路径，则称G是强连通图。
  （ii）强连通分量
  有向图的极大强连通子图称为G的强连通分量。
  注意：
  ① 强连通图只有一个强连通分量，即是其自身。
  ② 非强连通的有向图有多个强连分量。
- 1.2 图抽象数据类型
```
ADT  Graph<T>                                 //图抽象数据类型{   int vertexCount()                            //顶点数    T getVertex(int i)                             //顶点vi元素    void setVertex(int i, T x)                 //设置vi顶点为x    int insertVertex(T x);                      //插入顶点    void removeVertex(int v)                //删除顶点    int next(int i, int j);                          //后继邻接顶点    void insertEdge(int i, int j, int weight)  //插入边    void removeEdge(int i, int j)                  //删除边    int weight(int i, int j)                               //边的权值}
```
- 2 图的表示和实现
- 2.1图的邻接矩阵表示和实现
  1、邻接矩阵(Adacency Matrix)
  （1）不带权图的邻接矩阵
- n无向图的邻接矩阵是对称的，有向图的邻接矩阵不一定对称。
  n从邻接矩阵可知顶点的度。
  （2）带权图的邻接矩阵
  若G是网络，则邻接矩阵可定义为：
- 邻接矩阵的性质：
  - 1．图中各顶点序号确定后，图的邻接矩阵是唯一确定的；
  - 2．无向图和无向网的邻接矩阵是一个对称矩阵；
  - 3．无向图邻接矩阵中第i行（或第i列）的非0元素的个数即为第i个顶点的度；
  - 4．有向图邻接矩阵第i行非0元素个数为第i个顶点的出度，第i列非0元素个数为第i个顶点的入度，第i个顶点的度为第i行与第i列非0元素个数之和；
  - 5．无向图的边数等于邻接矩阵中非0元素个数之和的一半，有向图的边数等于邻接矩阵中非0元素个数之和
  - 2.2图的邻接表表示和实现
  - 1、邻接表(Adacency List)
    n图的邻接表表示由顶点表和边表组成
    n顶点表以顺序表存储图中所有顶点元素
    n边表以单链表存储与顶点相关联的多条边。
    
    顶点表中的结点结构
    
    边表中的结点结构
    （1）无向图的邻接表表示
    （2）有向图的邻接表表示
    邻接表的性质：
    1．图的邻接表表示不是唯一的，它与表结点的链入次序有关；
    2．无向图的邻接表中第i个边表的结点个数即为第i个顶点的度；
    3．有向图的邻接表中第i个出边表的结点个数即为第i个结点的出度，有向图的逆邻接表中第i个入边表的结点个数即为第i个结点的入度；
    4．无向图的边数等于邻接表中边表结点数的一半，有向图的边数等于邻接表（逆邻接表）中出边表结点（入边表结点）的数目。
    如何选择图的这两种存储结构呢？
    一个有n个顶点、e条边的图G：
    当n较小且e较大时，采用邻接矩阵存储效率较高；
    当n较大且e《n时，采用邻接表存储效率较高；
    3图的遍历
    n从图中某个顶点出发访问图中所有顶点，且使得每一顶点仅被访问一次，这一过程称之为图的遍历。
    l指定遍历的第一个访问结点。
    l由于一个顶点可能与多个顶点相邻，因此要在多个邻接顶点之间约定一种访问次序。
    l由于图中可能存在回路，在访问某个顶点之后，可能沿着某条路径又回到该顶点。因此，为了避免重复访问同一顶点，在遍历过程中必须对访问过的顶点做标记（visited数组）。
    1   图的深度优先搜索遍历
    1．图的深度优先搜索
    图G的初态是所有顶点均未曾访问过。在G中任选一顶点v为出发点(源点)，则深度优先遍历可定义如下：
    首先访问出发点v，并将其标记为已访问过；
    然后依次从v出发按照某种约定好的顺序搜索v的每个邻接点w。若w未曾访问过，则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历，直至图中所有和源点v有路径相通的顶点(亦称为从源点可达的顶点)均已被访问为止。
    若此时图中仍有未访问的顶点，则另选一个尚未访问的顶点作为新的源点重复上述过程，直至图中所有顶点均已被访问为止。
    图的深度优先遍历类似于树的先根遍历。采用的搜索方法的特点是尽可能先对纵深方向进行搜索。
    2   图的广度优先搜索遍历
    1、广度优先遍历定义
    图G的初态是所有顶点均未访问过。在G中任选一顶点v为源点，则广度优先遍历可以定义为：
    首先访问出发点v，接着依次访问v的所有邻接点w1，w2，…，wt，
    然后再依次访问与w1，w2，…，wt邻接的所有未曾访问过的顶点。依此类推，直至图中所有和源点v有路径相通的顶点都已访问到为止。此时从v开始的搜索过程结束。
    若G是连通图，则遍历完成；否则，在图G中另选一个尚未访问的顶点作为新源点继续上述的搜索过程，直至G中所有顶点均已被访问为止。
    广度优先遍历类似于树的按层次遍历。采用的搜索方法的特点是尽可能先对横向进行搜索。
    对于一个连通（无向）图或一个强连通（有向）图，从任何一个顶点出发的一次遍历，可以访问图中的每个顶点。
    对于一个非连通（无向）图，从一个顶点出发的一次遍历，只能访问图中的一个连通分量。
    4   最小生成树
    1生成树
    1、树
    连通的无回路的无向图称为无向树，简称树（tree）。树中的悬挂点又称为树叶（leaf），其他结点称为分支点（branched node）。
    树中无回路。若去掉树中的任意一条边，则树变为森林，成为非连通图；若给树加上一条边，则形成一条回路，则不是树。
    2、生成树和生成森林
    如果连通图G的一个子图是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。
    生成树是连通图的包含图中的所有顶点的极小连通子图。
    如果一个无向图是非连通图，则其每一个连通分量都可以生成一颗树，这些树将组成该图的生成森林。
    图的生成树和生成森林不惟一。从不同的顶点出发进行遍历，可以得到不同的生成树或生成森林。
    深度优先生成树和广度优先生成树
    设图G=(V，E)是一个具有n个顶点的连通图。则从G的任一顶点（源点）出发，作一次深度优先搜索（广度优先搜索），搜索到的n个顶点和搜索过程中从一个已访问过的顶点vi搜索到一个未曾访问过的邻接点vj，所经过的边(vi，vj)（共n-1条）组成的极小连通子图就是生成树。（源点是生成树的根）
    通常，由深度优先搜索得到的生成树称为深度优先生成树，简称为DFS生成树；
    由广度优先搜索得到的生成树称为广度优先生成树，简称为BFS生成树。
    生成树中任意两个顶点之间只有唯一的一条路径。
- - - - 3、最小生成树
        2 最小生成树的构造算法
           MST性质
        最小生成树性质：设G=(V，E)是一个连通网络，U是顶点集V的一个真子集。若(u，v)是G中所有的一个端点在U(u∈U)里、另一个端点不在U(即v∈V-U)里的边中，具有最小权值的一条边，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u，v)。
        为方便说明，先作以下约定：
        ①将集合U中的顶点看作是红色顶点；
        ②而V-U中的顶点看作是蓝色顶点；
        ③连接红点和蓝点的边看作是紫色边；
        ④权最小的紫边称为轻边(即权重最“轻”的边)。
        于是，MST性质中所述的边(u，v)就可简称为轻边。
        1、普里姆(Prim)算法
        算法思想：
        T=(U，TE)是存放MST的集合。
        ①T的初值是({r}， )
        即最小生成树初始时只有一个红点r，没有红边。
        ②T经过n-1次如下步骤操作，最后得到一棵含n个顶点，n-1条边的最小生成树
        选择紫边集中一条轻边并扩充进T
        将轻边连接的蓝点改红点
        将轻边改红边
        修改紫边集
        2、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法
        算法思想
        ①T的初始状态
        只有n个顶点而无边的森林T=(V， )
        ②按边长递增的顺序选择E中的n-1安全边(u，v)并加入T，生成MST
        注意：
        安全边指两个端点分别是森林T里两棵树中的顶点的边。加入安全边，可将森林中的两棵树连接成一棵更大的树
        因为每一次添加到T中的边均是当前权值最小的安全边，MST性质也能保证最终的T是一棵最小生成树。
        5最短路径
        1. 最短路径
        最短路径问题，即求两个顶点间长度最短的路径
        路径长度不是指路径上边数的总和，而是指路径上各边的权值总和
        单源最短路径问题：对于给定的有向网络G=(V,E)及单个源点v，求从v到G的其余各顶点的最短路径。
        迪卡斯特拉（Dijkstra）算法基本思想：
        S={v}；
        置T中各顶点的距离值；
        while（S中顶点数<n）
        {
            在T中选择距离值最小的顶点u；
            S=S+{u}；
            调整T中剩余顶点的距离值；
        }
        调整距离的原则是：当u的最短路径长度与u到T中的顶点之间的权值之和小于该顶点的当前最短路径长度时，用前者替换后者。
        
        每对顶点间的最短路径（Floyd算法）
        2. Floyd算法描述
        （1）矩阵初值
        （2）迭代
        if (                         )     //                        长度小于
        {
                                       ;   //                  长度替换为更短
                                       ;   //                   经过的最后一个顶点，
        替换为               经过的最后一个顶点
        }
        
        ② 以B作为其他路径的中间顶点
        ③ 以C作为其他路径的中间顶点
        ④ 以D作为其他路径的中间顶点
        （3）获得每条最短路径

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