括号匹配

源自2017.3.17参加网易游戏实习面试时的面试题，题目为：给定N对括号”()”，有多少种合法的匹配方式？

简单递归

当时的思路：递归，设定两个初始变量leftL，leftR，分别表示，当前还剩下的左右括号数目，如果左右括号数均为0，那么表示匹配完毕；否则，当前选择左括号，leftL - 1，进入下一层递归，当前选择右括号，leftR - 1，进入下一层递归，两者的匹配数目相加即可！
边界情况：leftL或者leftR < 0，以及leftL > leftR时，此时匹配已经不合法，返回，相当于剪枝。
代码如下：

int totalCount = 0;void matchNum(int leftL, int leftR){    //剪枝（剩余的左括号数必须小于右括号数）    if (leftL > leftR || leftL < 0 || leftR < 0)    {        return;    }    if (leftL == 0 && leftR == 0)    {        totalCount++;        return;    }    matchNum(leftL - 1, leftR);    matchNum(leftL, leftR - 1);}

由于存在重复计算，算法复杂度为O（2^N），当N超过15时，在PC上（I7-4790）运行时间超过10S；

带备忘录的递归

上述的递归中，涉及大量的重复计算，如下图（以N=4为例）：

可以通过建立一个备忘录，记录已经计算的结点，递归到某一层时，先查询备忘录是否已经计算，如果是，直接返回备忘录中的值，否则进行递归计算。这里，使用std::map存储结点，代码如下：

std::map<std::pair<int, int>, long long> umap;long long matchNum1(int leftL, int leftR){    //剪枝（剩余的左括号数必须小于右括号数）    if (leftL > leftR || leftL < 0 || leftR < 0)    {        return 0;    }    if (leftL == 0 && leftR == 0)    {        //totalCount++;        return 1;    }    long long result = 0;    if (umap.find(std::pair<int, int>(leftL - 1, leftR)) != umap.end())    {        result += umap[std::pair<int, int>(leftL - 1, leftR)];    }    else    {        long long  tmp = matchNum1(leftL - 1, leftR);        umap[std::pair<int, int>(leftL - 1, leftR)] = tmp;        result += tmp;    }    if (umap.find(std::pair<int, int>(leftL, leftR - 1)) != umap.end())    {        result += umap[std::pair<int, int>(leftL, leftR - 1)];    }    else    {        long long tmp = matchNum1(leftL, leftR - 1);        umap[std::pair<int, int>(leftL, leftR - 1)] = tmp;        result += tmp;    }    return result;}

这里每次查询时间为O（logN），计算的结点数为O（N^2），总的时间复杂度为O（LogN*N^2）；如果想要在O（1）时间内完成查询，需要使用std::unordered_map，但如果使用std::unordered_map，必须要对此处的std::pair< int, int >创建自定义的hash函数和等价准则，对此可以参考博客，
代码如下：

#include <functional>template<typename T>inline void hash_combine(std::size_t& seed, const T& val){    seed ^= std::hash<T>()(val)+0x9e3779b9 + (seed << 6) + (seed >> 2);}template<typename T>inline void hash_val(std::size_t& seed, const T& val){    hash_combine(seed, val);}template<typename T, typename... Types>inline void hash_val(std::size_t& seed, const T& val, const Types&... args){    hash_combine(seed, val);    hash_val(seed, args...);}template<typename... Types>inline std::size_t hash_val(const Types& ...args){    std::size_t seed = 0;    hash_val(seed, args...);    return seed;}std::size_t hash(const std::pair<int, int>& c){    return  hash_val(c.first, c.second);};bool eq(const std::pair<int, int>& c1, const std::pair<int, int>& c2){    return c1.first == c2.first && c1.second == c2.second;}; std::unordered_map<std::pair<int, int>, long long, decltype(&hash), decltype(&eq)>     umap(100, hash, eq);long long matchNum1(int leftL, int leftR){    //剪枝（剩余的左括号数必须小于右括号数）    if (leftL > leftR || leftL < 0 || leftR < 0)    {        return 0;    }    if (leftL == 0 && leftR == 0)    {        //totalCount++;        return 1;    }    long long result = 0;    if (umap.find(std::pair<int, int>(leftL - 1, leftR)) != umap.end())    {        result += umap[std::pair<int, int>(leftL - 1, leftR)];    }    else    {        long long  tmp = matchNum1(leftL - 1, leftR);        umap[std::pair<int, int>(leftL - 1, leftR)] = tmp;        result += tmp;    }    if (umap.find(std::pair<int, int>(leftL, leftR - 1)) != umap.end())    {        result += umap[std::pair<int, int>(leftL, leftR - 1)];    }    else    {        long long tmp = matchNum1(leftL, leftR - 1);        umap[std::pair<int, int>(leftL, leftR - 1)] = tmp;        result += tmp;    }    return result;}

动态规划方式

令剩余的左括号数为L，剩余的右括号数为R，那么可得递推式：F（L，R） = F（L - 1，R） + F（L， R - 1）。
完整的递归式为：
（1）F（L，R） = 0，L < 0 or R < 0 or L > R
（2）F（L，R） = 1，L = 0 and R = 0
（3）F（L，R） = F（L - 1，R） + F（L， R - 1）， others

当N = 4时，动规的表格如下（行为L，列为R）：

可以使用（N+1）^2的空间用于记录计算过的值，但是这里使用（N+1）就够了，代码如下：

long long matchNum2(int num){    if (num == 0)    {        return 1;    }    std::vector<long long> dp(num + 1, 1);    for (int i = 1; i <= num; ++i)    {        for (int k = i + 1; k <= num; ++k)        {            dp[k] += dp[k - 1];        }    }    return dp[num];}

时间对比（Release模式）

N = 18时；

当N > 20时，普通递推已经无法短时间计算出来，故不参加以下对比：
N = 5998时，

（计算结果为负数，是因为溢出了！）
可以发现，动态规划计算速度比递归快了很多；
此外，当N大于某个值时，递归会因栈空间不足而崩溃，因此，使用动态规划的方式不仅在时间，而且在代码的强健性上也强于递归！

卡特兰数

在网上搜索关于括号匹配的信息时，看到这个问题可以用卡特兰数解决，关于卡特兰数，可以转至链接.

注：以下内容参考博客

上面的方法，是基于剩余的左右括号数量来得到递归式的，那么有没有另外的思考方式呢？

现在，如果我们仅仅考虑左括号，而不考虑右括号，通过下面的示意图可以看出，我们可以将整个问题，拆分成一个个子问题，然后将子问题合并就可以解决整个问题。

这里a[i]的含义是：第i个左括号左（右）边的括号的匹配数，a[i] * a[N - 1 - i]表示当前左括号在位置i+1时，可以得到的匹配数（不知道这样表述清不清楚，看图应该能更加明白）。
递推式为：
F（N） = F（i） * F（N-1-i），0 <= i <= N - 1;
当i = 0或者1时，F（i） = 1；
对应的代码如下：

long long matchNum3(int num){    if (num == 0 || num == 1)    {        return 1;    }    std::vector<long long> dp(num + 1, 1);    for (int i = 2; i <= num; ++i)    {        long long tmp = 0;        for (int k = 0; k < i; ++k)        {            tmp += dp[k] * dp[i - 1 - k];        }        dp[i] = tmp;    }    return dp[num];}

两种动态规划方法的时间对比：

N = 115998时，
计算结果由于溢出，可以忽略；前者是自己写的动态规划方法计算时间，后者是卡特兰数的动态规划方法的计算时间，可以发现前者约是后者时间的 1/2，在实验了其它的N值后，基本都是在1/2左右，为什么会这样暂时不去分析了。