俄国沙皇问题笔记

给定一个N*2的二维数组，看作是一个个二元组，[a1,b1],[a2,b2],[a3,b3],规定：如果想把一个二元组甲放到二元组乙上，甲中的a值必须大于乙中的a值，甲中的b值必须大于乙中的b值，如果二维数组中随意选择二元组，请问二元组中最多可以往上放多少个？
例如：[[7,8],[5,9],[1,2],[6,4],[8,6]]，则最多可以放三个：[1,2]->[6,4]->[7,8]或[1,2]->[6,4]->[8,6]
要求：实现时间复杂度O(N*logN)的解法


铺垫：最长递增子序列求解
例如一个数列：2，1，6，4，5，2，7，4
则其最长递增子序列有4个：1，4，5，7或2，4，5，7等
O(n²）解法：
生成一个辅助数组h[8],这辅助数组的用于存放必须以第i个数字结尾的子序列长度，即求出以任何一个数字结尾的数列的最长递增子序列长度。每个数字都要求解以该数字结尾的最长递增子序列长度，即首先是2，以2结尾的最长递增子序列就是2，则h[0]=1；之后是1，以1结尾的最长递增子序列是1，则h[1]=1；之后是6，以6结尾的最长递增子序列是1，6或者2，6，则h[2]=2,以此类推，则例中的h[8]=[1,1,2,2,3，2，4，3]
O(nlogN)解法：
（ps：看到logN一般就会想到是二分法）
此算法是吧之前的枚举过程加速
生成一个辅助数组h[8]，首先对于2，直接将2放入,h[0]=2,此时认为之后的h数组都是无效区，只有h[0]是有效区；遇到1时，在有效区中找第一个大于1的数字，利用二分法，因为有效区的有序的，此时由于2>1，则将2换成1，此时h[0]=1，有效区仍然是h[0];
遇到6，在有效区中找第一个大于6的数，但是由于在有效区中没有找到比6大的数，故此时扩充有效区，此时有效区为[1,6]，则以6结尾的有效区中的长度为2；
之后是4，在有效区中找到第一个大于4的数，故将6换为4，此时有效区为[1,4],则以4结尾的最长递增子序列是1，4，长度为2；
之后是5，在有效区中扩充，此时有效区为[1,4,5]，以5结尾的最长递增子序列为1，4，5，长度为3；
之后是2，将4换为2，此时有效区为1，2，5，则以2结尾的最长递增子序列为1，2，长度为2；
之后是7，扩充有效区，此时以7结尾的最长递增子序列为1，2，5，7，长度为4；
之后是4，此时，将5换为4，此时最长递增子序列为1，2，4，7，即以4结尾的最长递增子序列长度为3。
h[i]的含义是假设当前遍历到cur，h[i]有效区代表遍历到cur为止，长度为i+1的最长递增子序列的最小末尾是什么数，h数组是维持了最小末尾。

public static int[] getdp(int[] arr){int[] dp = new int[arr.length];  //以每个数字结尾的最长递增子序列的长度int[] ends = new int[arr.length];  ends[0] = arr[0];  int right = 0;  //有效区长度int l = 0;   //有效区的左边界int r = 0;   //有效区的右边界int m = 0;for(int i = 1; i<arr.length; i++){l = 0;r = right;while(l<=r){//在有效区中找到最后一个比当前数小的位置m = (1+r)/2;if(arr[i] > ends[m]){l = m + 1;}else{r = m - 1;}}right = Math.max(right, 1);//若没有找到，扩充有效区ends[i] = arr[i];dp[i] = 1 + i;//以当前数结尾的最长递增子序列长度}return dp;}

以下求解原题：
一种解法是时间复杂度为O（n²），先按照a升序排序，如果a相等时，以b升序排序，得到一个序列，之后在此序列中对b查找最长递增子序列。
本题时间复杂度为O(nLogN)排序策略是，先按照a的值升序排序，当a相等时，以b降序排序。
生成一个辅助数组h[],此时h中放入的是b的值。在a相等时，只关注b，更新h，h只维持b出现的最小末尾。

import java.util.Arrays;import java.util.Comparator;public class RussianDollEnvelopes{public static class Dot{public int w;public int h;public Dot(int weight, int high){w = weight;h = high;}}public static class DotComparator implements Comparator<Dot>{//定义Dot比较器,若返回-1，则arg0放在前面，若返回1，表示arg1放在前面@Overridepublic int compare(Dot arg0, Dot arg1){if(arg0.w == arg1.w){if（arg0.h == arg1.h）{return 0;}else if(arg0.h < arg1.h){return 1;}else{return -1;}}else if(arg0.w < arg1.w){return -1;}else{return 1;}}}public static int maxEnvelopes(int[][] es){if(es == null || es.length == 0 || es[0] == null || es[0],length != 2){return 0;}}Dot[] dots = new Dot[es.length];for(int i =0; i<es.length;i++){dots[i] = new Dot(es[i][0], es[i][1]);}Arrays.sort(dots, new DotComparator());//调用排序方法int[] ends = new int[es.length];ends[0] = dots[0].h;int right = 0;int l = 0;int r = 0;int m = 0;for(int i = 1; i<dots.length;i++){l = 0;r = right;while(l <= r){m = (1+r)/2;if(dots[i].h >ends[m]){l = m + 1;}else{r = m - 1;}}right = Math.max(right, l);ends[1] = dots[1].h;}return right+1;}public static void main(String[] args){//...}