Bayes定理与应用

找了几篇文章。

http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/08/bayesian_inference_part_one.html

http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/08/bayesian_inference_part_two.html

https://www.zhihu.com/question/19725590   ## 这个用频率举例，容易理解

http://norvig.com/spell-correct.html   ## 一个简易的拼写检查Python版本

P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B)

例子-01

看了这么多答案，怎么没有人提平行宇宙解释。我忘记是不是在《黑客与画家》中看到的了。容我在此复述一下。

假设有1000个平行宇宙，这些宇宙中时间同步前进。
这一天，管理员小王天起床，走到车间。此时有750个宇宙，这机器都是好的。而另有250个宇宙，机器是坏的。
但是在所有的宇宙中，小王都忘记检查机器了（100%忘记检查的人物设定），然后机器开工，生产了一个产品。
我们看这750个良好机器的宇宙中，有90%的宇宙，也就是675个宇宙，都产生了好产品，而75个宇宙，生产了坏的产品。
我们再看这250个故障机器的宇宙中，有30%的宇宙，也就是75个宇宙生产了好产品，有175个宇宙生产了坏产品。
在那些生产了好产品的宇宙中，小王此时才想起来检查机器。生产好产品的宇宙一共有675+75 = 750 个宇宙，其中675 个宇宙是良好机器的宇宙，另外75 个宇宙是故障机器的宇宙。

问，此时（生产了好产品时）发现故障机器的概率？
岂不是太简单。
75/750 = 0.1

例子-02

作者：罗朝辉
链接：https://www.zhihu.com/question/19725590/answer/32275564
来源：知乎
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示例示例一：应当根据新情况更新先验概率

《决策与判断》第十二章中讲到人们都有保守主义情结，即使出现了新信息，也不愿意根据新信息来更新先验概率。用前面解释里面的话说就是：新信息是 B 事件不断发生，人们本应该根据这个信息去更新 A 事件发生的概率，但人们却更愿意固守之前估计的 A 事件发生的概率。

书中举了这样一个调查案例：

假设有两个各装了100个球的箱子，甲箱子中有70个红球，30个绿球，乙箱子中有30个红球，70个绿球。假设随机选择其中一个箱子，从中拿出一个球记下球色再放回原箱子，如此重复12次，记录得到8次红球，4次绿球。问题来了，你认为被选择的箱子是甲箱子的概率有多大？

调查结果显示，大部分人都低估了选择的是甲箱子的概率。根据贝叶斯定理，正确答案是96.7%。下面容我来详细分析解答。

刚开始选择甲乙两箱子的先验概率都是50%，因为是随机二选一（这是贝叶斯定理二选一的特殊形式）。即有：

P(甲) = 0.5， P(乙) = 1 - P(甲)；

这时在拿出一个球是红球的情况下，我们就应该根据这个信息来更新选择的是甲箱子的先验概率：

P(甲|红球1) = P(红球|甲) × P(甲) / (P(红球|甲) × P(甲) + (P(红球|乙) × P(乙)))
P(红球|甲)：甲箱子中拿到红球的概率
P(红球|乙)：乙箱子中拿到红球的概率

因此在出现一个红球的情况下，选择的是甲箱子的先验概率就可被修正为：

P(甲|红球1) = 0.7 × 0.5 / (0.7 × 0.5 + 0.3 × 0.5) = 0.7

即在出现一个红球之后，甲乙箱子被选中的先验概率就被修正为：

P(甲) = 0.7， P(乙) = 1 - P(甲) = 0.3；

如此重复，直到经历8次红球修正（概率增加），4此绿球修正（概率减少）之后，选择的是甲箱子的概率为：96.7%。

从程序运行结果来看，很明显可以看到红球的出现是增加选择甲箱子的概率，而绿球则相反。