关于二分图最大匹配等于最小点覆盖的证明
来源:互联网 发布:centos 安装samba 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 13:42
假设一个二分图给出了最大匹配数为M,那个M条边都是独立的(在X,Y集合都没有交点) ,
结论1.覆盖M条独立边至少需要M个覆盖点
结论2.图中所有的边都能被最大匹配的边的点所覆盖(如果有边没被最大匹配边的点所覆盖的话,那么肯定就不是最大匹配啦)
结论3.最大匹配的一条边只对应一个覆盖点
如果最大匹配的一条边选了2个未覆盖点 那么只有这种一种情况
红色边代表最大匹配,2-5选了两个未覆盖点,说明不是最大匹配,因为可以选1-5,2-7
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综上所述
由结论3得,最大匹配M条边中各选了一个覆盖点,这M个覆盖点覆盖了最大匹配边,综合结论2,图中非匹配边也能被最大匹配边的覆盖点所覆盖,
再结合结论1,至少需要M个覆盖点。
所以M个覆盖点就是最小的点覆盖
也就是说 二分图最大匹配等于最小点覆盖
讲得有误的话,求指正。
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