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分类：树形dp、思维、数学

1.题意概述

• 给你由n个节点构成的树，有(n-1)条边，随机选取其中三个节点a、b、c，定义dist=dis(a,b)+dis(b,c)+dis(c,a)，现在有q次操作，每次选取某条边，使得它的边权由原先的wi变成li，问你每次操作以后的期望E(dist)是多少？

2.解题思路

• 根据期望性质E[dis(a,b)+dis(b,c)+dis(c,a)]=E[dis(a,b)]+E[dis(b,c)]+E[dis(c,a)]
  
  • 方法一：按边考虑，n个点中任意取3个点的取法是C3n种，我们考虑每条边出现的概率。如果我们选定边ab，那么第三个点c就在剩下的(n−2)个点中取，也就是边ab会出现(n−2)次，假设这条边下面的儿子个数为son[x]，而经过这条边的种类数son[x]⋅(n−son[x])，所以最终概率为pab=son[x](n−son[x])(n−2)C3n，而总的期望就是E(dist)=∑E[dis(i,j)]=pij⋅wij！而统计儿子个数我们可以通过树形dp跑一遍dfs就可以求得，而每条边的权值的变动，只会影响wij，根据期望性质，我们可以先求得边尚未改变的期望，然后减去(lij−wij)⋅pij就是结果！
  • 方法二：按点考虑，画图容易发现，树中任意选三点构成合法路线，某条边一定会经过两次，那么我们对于这条边两侧的点考虑，假设左侧有a个点，右侧有b个点，那么这三个点的选法有C2a⋅C1b+C1a⋅C2b种，结果就是2(C2a⋅C1b+C1a⋅C2b)C3n，下面做法和方法一类似。

3.AC代码

#include <bits/stdc++.h>#define INF 0x3f3f3f3f#define maxn 100010#define lson root << 1#define rson root << 1 | 1#define lent (t[root].r - t[root].l + 1)#define lenl (t[lson].r - t[lson].l + 1)#define lenr (t[rson].r - t[rson].l + 1)#define N 1111#define eps 1e-6#define pi acos(-1.0)#define e exp(1.0)#define Close() ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)using namespace std;const int mod = 1e9 + 7;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;struct node{    int to, id;    node(int a, int b) { to = a; id = b; }};vector<node> g[maxn];double p[maxn];int son[maxn], w[maxn];void dfs(int u, int fa, int pid, const int &n){    son[u] = 1;    int sz = g[u].size();    for (int i = 0; i < sz; i++)    {        int v = g[u][i].to;        int id = g[u][i].id;        if (v != fa)        {            dfs(v, u, id, n);            son[u] += son[v];        }    }    p[pid] = 6.0 * son[u] * (n - son[u]) / n / (n - 1);}int main(){#ifndef ONLINE_JUDGE    freopen("in.txt", "r", stdin);    freopen("out.txt", "w", stdout);    long _begin_time = clock();#endif    int n, m;    scanf("%d", &n);    for (int i = 1; i < n; i++)    {        int a, b;        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w[i]);        g[a].push_back(node(b, i));        g[b].push_back(node(a, i));    }    dfs(1, -1, 0, n);    double ans = 0;    for (int i = 1; i < n; i++)        ans += w[i] * p[i];    scanf("%d", &m);    while (m--)    {        int a, b;        scanf("%d%d", &a, &b);        int delta = w[a] - b;        ans -= delta * p[a];        printf("%.12f\n", ans);        w[a] -= delta;    }#ifndef ONLINE_JUDGE    long _end_time = clock();    printf("time = %ld ms.", _end_time - _begin_time);#endif    return 0;}