习题8.14

1.证明这个问题是NP问题。

给定包含无向图G中的一个规模为k的团以及一个规模为k的独立集的解S。通过在图G中遍历S中的团和独立集中的每一个节点，就可以判定他们是不是团和独立集，时间复杂度是O(k2)，为多项式时间。证明该问题是一个NP问题。

2.证明这个问题是NP-hard问题。

相当于证明独立集问题能够在多项式时间内归约到本问题。独立集问题指的是，对于给定的图G，要求判定图G中是否存在一个规模为k的独立集。假定现在有一个独立集问题的输入图G，可以在图G中加入一个规模为k的团，同时使这个团中的任意一个节点都不与原图G中的任意一个节点相连，得到增广图G‘。这个增广图G‘中包含有一个规模为k的团，同时，这个团与剩下的k个点不连通。假定要证明的问题8.14存在解A，把A作用在增广图G‘上，如果得到的答案是YES，那么说明图G中有一个规模为k的独立集，如果得到的答案是NO，那么图G一定不存在规模为k的独立集。由于加入一个规模为k的团的开销为O(k2)，所以，独立集问题能在多项式时间内归约到本问题。因此，该问题是一个NP-hard问题。

综上所述，求无向图G中一个规模为k的团和一个规模为k的独立集问题，是一个NP-complete问题。