导数

一、定义

当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’(x0)或df(x0)/dx。

二、公式

由斜率公式k=y1−y2x1−x2可得f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx.

1.sinx:f′(x)=cosx

2.cosx:f′(x)=−sinx

3.lnx:f′(x)=1x

4.ex:f′(x)=ex

5.xn:f′(x)=nxn−1

6.logax:f′(x)=1xlna

7.ax:f′(x)=axlna

三、运算法则

1.[αf(x)+βg(x)]′=αf′(x)+βg′(x)

2.[f(x)g(x)]′=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)

3.[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)

四、复合函数求导

设函数u=g(x)在x=x0可导，而函数f(u)在u=u0处可导，则f(g(x))在x=x0处可导且[f(g(x)]′x=x0=f′(g(x0))⋅g′(x0).
如[(sinx)2]′=2sinx⋅cosx.

【注】连续函数不一定可导，但可导函数一定连续。