杨辉三角

杨辉三角基本性质

概述

前提：每行端点与结尾的数为1.

1. 每个数等于它上方两数之和。
2. 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3. 第n行的数字有n项。
4. 第n行数字和为2^n-1。
5. 第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
6. 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
7. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
8. (a+b)ⁿ的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
9. 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
10. 将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为 25937424601=11¹⁰。

#include<iostream>using namespace std;#define LEN 20      // 最多能够打印出多的行数int main(void){int arr[LEN][LEN] = { 0 };int i, j;int n = 0;cout << "请输入要打印的行数:";cin >> n;while (n==0||n>=20){cin >> n;}// 从第一行开始印for (i = 1; i <= n; i++)arr[i][1] = arr[i][i]=1;    // 每一列的第一一个元素和最后一个元素相同// 从第三行开始，除两端的1外，中间的数字都等于上一列的 arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+arr[i-1][j];for (i=3;i<=n;i++){for (j=2;j<=i-1;j++){arr[i][j] = arr[i - 1][j - 1] + arr[i - 1][j];    // 除两边的数字1外，其余的数字等于顶端数字之和}}// 打印输出for (i=1;i<=n;i++)    // 总共有n行要打印{for (int k=1;k<=n-i;k++){cout << "  ";}for (j=1;j<=i;j++){cout << arr[i][j] <<"    ";}cout << endl;}return 0;}